Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Общее количество студентов: ( 12 )
- Количество отличников: ( 8 )
- Количество выбранных студентов: ( 9 )
- Требуется найти вероятность того, что среди выбранных есть ровно 5 отличников.
Шаг 1: Общее число способов выбрать 9 студентов из 12
Общее число вариантов — это количество сочетаний, которое обозначается как ( C_{12}^{9} ):
[
C_{12}^{9} = \frac{12!}{9! \times (12-9)!} = \frac{12!}{9! \times 3!}
]
Рассчитаем:
[
12! = 479001600,\quad 9! = 362880,\quad 3! = 6
]
Поэтому:
[
C_{12}^{9} = \frac{479001600}{362880 \times 6} = \frac{479001600}{2177280} = 220
]
Шаг 2: Число favorable способов — выбрать ровно 5 отличников из 8 и 4 обычных из 4
Чтобы среди выбранных было ровно 5 отличников:
- выбираем 5 отличников из 8: ( C_{8}^{5} )
- остальные 4 — из оставшихся 4 студентов, не являющихся отличниками: ( C_{4}^{4} )
Рассчитаем:
[
C_{8}^{5} = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{40320}{120 \times 6} = \frac{40320}{720} = 56
]
[
C_{4}^{4} = 1
]
Итак, число способов выбрать такую группу:
[
N = C_{8}^{5} \times C_{4}^{4} = 56 \times 1 = 56
]
Шаг 3: Находим вероятность
Вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов:
[
P = \frac{N}{C_{12}^{9}} = \frac{56}{220}
]
Сокращаем дробь:
[
\frac{56}{220} = \frac{8}{35}
]
Итог:
Ответ: вероятность того, что среди выбранных 9 студентов будет ровно 5 отличников, равна (\boxed{\frac{8}{35}}).
