В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Общее количество студентов: \( 12 \)
- Количество отличников: \( 8 \)
- Количество выбранных студентов: \( 9 \)
- Требуется найти вероятность того, что среди выбранных есть ровно 5 отличников.
Шаг 1: Общее число способов выбрать 9 студентов из 12
Общее число вариантов — это количество сочетаний, которое обозначается как \( C_{12}^{9} \):
\[ C_{12}^{9} = \frac{12!}{9! \times (12-9)!} = \frac{12!}{9! \times 3!} \]
Рассчитаем:
\[ 12! = 479001600,\quad 9! = 362880,\quad 3! = 6 \]
Поэтому:
\[ C_{12}^{9} = \frac{479001600}{362880 \times 6} = \frac{479001600}{2177280} = 220 \]
Шаг 2: Число favorable способов — выбрать ровно 5 отличников из 8 и 4 обычных из 4
Чтобы среди выбранных было ровно 5 отличников:
- выбираем 5 отличников из 8: \( C_{8}^{5} \)
- остальные 4 — из оставшихся 4 студентов, не являющихся отличниками: \( C_{4}^{4} \)
Рассчитаем:
\[ C_{8}^{5} = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{40320}{120 \times 6} = \frac{40320}{720} = 56 \]
\[ C_{4}^{4} = 1 \]
Итак, число способов выбрать такую группу:
\[ N = C_{8}^{5} \times C_{4}^{4} = 56 \times 1 = 56 \]
Шаг 3: Находим вероятность
Вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов:
\[ P = \frac{N}{C_{12}^{9}} = \frac{56}{220} \]
Сокращаем дробь:
\[ \frac{56}{220} = \frac{8}{35} \]
Итог:
Ответ: вероятность того, что среди выбранных 9 студентов будет ровно 5 отличников, равна \(\boxed{\frac{8}{35}}\).
