Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Угол падения ( \theta_1 = 60^\circ )
- Ширина пучка в воздухе ( a = 10, \text{см} )
- Нужно найти ширину пучка внутри стекла ( b )
Шаг 1: Понимание задачи
Пучок из параллельных лучей падает на границу раздела воздух-стекло под углом ( 60^\circ ). Лучи светят параллельно, и по законам преломления они распространятся внутри стекла. Поскольку лучи параллельны, внутри стекла они также останутся параллельными, но их размеры (ширина) изменятся из-за преломления.
Шаг 2: Использование законов преломления
Закон преломления (Закон Снеллиуса):
[
n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2
]
где:
- ( n_1 = 1 ) — показатель преломления воздуха
- ( n_2 ) — показатель преломления стекла (обычно около 1.5)
- ( \theta_1 = 60^\circ ) — угол падения
- ( \theta_2 ) — угол внутри стекла
Шаг 3: Найти угол внутри стекла ( \theta_2 )
[
\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta_1
]
Подставим значения:
[
\sin \theta_2 = \frac{1}{1.5} \sin 60^\circ
]
[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866
]
Следовательно:
[
\sin \theta_2 = \frac{1}{1.5} \times 0.866 \approx 0.577
]
Отсюда:
[
\theta_2 = \arcsin(0.577) \approx 35.3^\circ
]
Шаг 4: Определение изменения ширины пучка
Поскольку лучи параллельны, ширина пучка в стекле связана с проекцией на горизонтальную ось. Изначально ширина в воздухе — ( a = 10, \text{см} ).
Расстояние между двумя параллельными лучами при прохождении через разделительную границу сохраняется, но точка выхода внутри стекла перемещается из-за угла преломления. Важным является соотношение:
[
b = a \times \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}
]
Это связано с тем, что при прохождении через границу и распространении внутри стекла, горизонтальные размеры изменяются пропорционально косинусам соответствующих углов.
Шаг 5: Вычислить ( b )
[
b = a \times \frac{\cos 60^\circ}{\cos 35.3^\circ}
]
[
\cos 60^\circ = 0.5
]
[
\cos 35.3^\circ \approx 0.816
]
Следовательно:
[
b = 10, \text{см} \times \frac{0.5}{0.816} \approx 10 \times 0.612 = 6.12, \text{см}
]
Ответ:
Ширина пучка внутри стекла ( b \approx 6.1, \text{см} ).
Если нужен более точный ответ, можем уточнить округление, но обычно достаточно дать до одного знака после запятой.
Если есть вопросы или нужно уточнение — я готов помочь!
