Давайте подробно разберем задачу шаг за шагом:
Дано:
- Это двухзначное число. Обозначим цифру в разряде десятков как ( x ).
- Цифра в разряде единиц — ( y ).
По условию:
"Цифра, стоящая в разряде десятков, в два раза меньше цифры в разряде единиц":
( x = \frac{y}{2} ).
"Если эти цифры поменять местами, то число увеличится на 27":
- Исходное число: ( 10x + y ).
- После перестановки цифр: ( 10y + x ).
Значит:
[
10y + x = (10x + y) + 27
]
Шаг 1. Выразим ( x ) через ( y ):
Из первого условия:
[
x = \frac{y}{2}
]
Так как ( x ) — цифра разряда десятков, она должна быть целым числом от 1 до 9, а ( y ) — цифра от 0 до 9.
Значит, чтобы ( x ) было целым, ( y ) должно быть четным числом:
[
y \in {0, 2, 4, 6, 8}
]
Но так как число двухзначное, ( x \neq 0 ), следовательно:
[
x \geq 1 \implies \frac{y}{2} \geq 1 \implies y \geq 2
]
Итак, возможные значения ( y ): 2, 4, 6, 8.
Шаг 2. Подставим ( x = \frac{y}{2} ) в условие о разности:
[
10y + x = 10x + y + 27
]
Подставляем ( x = \frac{y}{2} ):
[
10y + \frac{y}{2} = 10 \cdot \frac{y}{2} + y + 27
]
Раскроем скобки и упростим:
Левая часть:
[
10y + \frac{y}{2}
]
Правая часть:
[
5y + y + 27 = 6y + 27
]
Запишем уравнение:
[
10y + \frac{y}{2} = 6y + 27
]
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё на 2:
[
2 \times (10y + \frac{y}{2}) = 2 \times (6y + 27)
]
Получим:
[
20y + y = 12y + 54
]
Объединим подобные:
[
21y = 12y + 54
]
Вычтем ( 12y ) из обеих частей:
[
21y - 12y = 54
]
[
9y = 54
]
Решим уравнение:
[
y = \frac{54}{9} = 6
]
Теперь найдём ( x ):
[
x = \frac{y}{2} = \frac{6}{2} = 3
]
Шаг 3. Проверка полученных цифр:
Это допустимые цифры: ( x ) — в разряде десятков (от 1 до 9), ( y ) — в разряде единиц (0-9).
Проверим условие о перестановке цифр:
- Исходное число: ( 10 \times 3 + 6 = 36 ).
- После перестановки: ( 10 \times 6 + 3 = 63 ).
Разница:
[
63 - 36 = 27
]
Что соответствует условию задачи.
Итог:
Заданное число — 36.
Если хотите, я могу вывести это решение еще раз или объяснить более подробно какую-то часть.
