Давайте разберем задачу пошагово.
Условие:
- Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла.
- Нужно найти размеры вертикальных углов.
Обозначения:
Пусть один из вертикальных углов — это угол x.
Обозначим смежный с ним (дополнительный к нему угол) — это угол y.
Важные свойства:
Вертикальные углы равны между собой:
[
\text{Вертикальные углы} = x
]
и другой вертикальный угол также равен (x).
Смежные углы (напротив лежащие уголки):
[
y
]
Углы, находящиеся на одной прямой, — это дополнительные:
[
x + y = 180^\circ
]
Условие задачи:
[
\text{Сумма вертикальных углов} = 3 \times \text{смежного угла}
]
или
[
2x = 3y
]
где (2x) — сумма двух вертикальных углов, так как они равны и оба равны (x).
Полученные уравнения:
- (x + y = 180^\circ) (сумма углов на прямой)
- (2x = 3y)
Решение:
Выразим (y) через (x) из второго уравнения:
[
2x = 3y \implies y = \frac{2x}{3}
]
Подставим это выражение в первое уравнение:
[
x + \frac{2x}{3} = 180^\circ
]
Объединим левую часть:
[
\frac{3x}{3} + \frac{2x}{3} = 180^\circ
]
[
\frac{3x + 2x}{3} = 180^\circ
]
[
\frac{5x}{3} = 180^\circ
]
Умножим обе части на 3:
[
5x = 540^\circ
]
[
x = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ
]
Теперь найдем (y):
[
y = \frac{2x}{3} = \frac{2 \times 108^\circ}{3} = \frac{216^\circ}{3} = 72^\circ
]
Итог:
- Вертикальные углы равны 108°.
- Смежный угол равен 72°.
Если у вас есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
