Сумма вертикальных углов 3 раза больше смежного с ними угла. Найдите вертикальные углы

Давайте разберем задачу пошагово.

Условие:

• Сумма вертикальных углов в 3 раза больше смежного с ними угла.
• Нужно найти размеры вертикальных углов.

Обозначения:

Пусть один из вертикальных углов — это угол x.

Обозначим смежный с ним (дополнительный к нему угол) — это угол y.

Важные свойства:

1. Вертикальные углы равны между собой: \[ \text{Вертикальные углы} = x \] и другой вертикальный угол также равен \(x\).

2. Смежные углы (напротив лежащие уголки): \[ y \]

3. Углы, находящиеся на одной прямой, — это дополнительные: \[ x + y = 180^\circ \]

Условие задачи:

\[ \text{Сумма вертикальных углов} = 3 \times \text{смежного угла} \] или \[ 2x = 3y \]

где \(2x\) — сумма двух вертикальных углов, так как они равны и оба равны \(x\).

Полученные уравнения:

1. \(x + y = 180^\circ\) (сумма углов на прямой)
2. \(2x = 3y\)

Решение:

Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \[ 2x = 3y \implies y = \frac{2x}{3} \]

Подставим это выражение в первое уравнение: \[ x + \frac{2x}{3} = 180^\circ \]

Объединим левую часть: \[ \frac{3x}{3} + \frac{2x}{3} = 180^\circ \] \[ \frac{3x + 2x}{3} = 180^\circ \] \[ \frac{5x}{3} = 180^\circ \]

Умножим обе части на 3: \[ 5x = 540^\circ \] \[ x = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \]

Теперь найдем \(y\): \[ y = \frac{2x}{3} = \frac{2 \times 108^\circ}{3} = \frac{216^\circ}{3} = 72^\circ \]

Итог:

• Вертикальные углы равны 108°.
• Смежный угол равен 72°.

Если у вас есть дополнительные вопросы — обращайтесь!