Реши задачу

Давайте шаг за шагом решим задачу. Задача: дана случайная величина \(X\) с функцией распределения \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2}; \\ \cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0; \\ 1, & x > 0. \end{cases} \] Требуется найти: а) плотность распределения \(f(x)\); б) математическое ожидание и дисперсию; в) вероятность попасть в интервал \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\); г) построить графики \(F(x)\) и \(f(x)\). --- ### а) Плотность распределения \(f(x)\) Плотность — это производная функции распределения: \[ f(x) = \frac{d}{dx} F(x). \] Разделим по отрезкам. **Область определения \(F(x)\):** - \(x \leq -\frac{\pi}{2}\): \(F(x) = 0\); следовательно, \(f(x) = 0\). - \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\): \(F(x) = \cos x\); производная: \(f(x) = -\sin x\). - \(x > 0\): \(F(x) = 1\); производная: \(f(x) = 0\). **ИТОГ:** \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2}, \\ -\sin x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0, \\ 0, & x > 0. \end{cases} \] --- ### б) Математическое ожидание \(E[X]\) и дисперсия \(D[X]\) **Математическое ожидание:** \[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx. \] Учитываем, что \(f(x) \neq 0\) только на \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\): \[ E[X] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x (-\sin x) dx. \] **Вычисление:** \[ E[X] = - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x \sin x dx. \] Рассмотрим \(\int x \sin x dx\): Используем интегрирование по частям: - \(u = x \Rightarrow du = dx\), - \(dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x\). Тогда: \[ \int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C. \] Подставим пределы: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x \sin x dx = \left[-x \cos x + \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}. \] Вычислим: - при \(x=0\): \[ -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 = 0 + 0 = 0. \] - при \(x = -\frac{\pi}{2}\): \[ -(-\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 + (-1) = -1. \] Итак, \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x \sin x dx = 0 - (-1) = 1. \] Следовательно, \[ E[X] = - \times 1 = -1. \] --- **Теперь дисперсия:** \[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2. \] Посчитаем \(E[X^2]\): \[ E[X^2] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 (-\sin x) dx = - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 \sin x dx. \] Вычислим \(\int x^2 \sin x dx\): используем дважды интегрирование по частям. **Первый шаг:** - \(u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx\), - \(dv = \sin x dx \Rightarrow v = - \cos x\). Тогда: \[ \int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx. \] Посчитаем \(\int x \cos x dx\): — Вновь по частям: - \(u = x \Rightarrow du = dx\), - \(dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x\). Итак: \[ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. \] Подставим обратно: \[ \int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2 (x \sin x + \cos x) + C. \] Рассмотрим пределы от \(-\frac{\pi}{2}\) до 0: \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 \sin x dx = \left[-x^2 \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}. \] Вычислим на границах: - при \(x=0\): \[ -0^2 \cdot \cos 0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin 0 + 2 \cos 0 = 0 + 0 + 2 \times 1 = 2. \] - при \(x = -\frac{\pi}{2}\): \[ - \left(-\frac{\pi}{2}\right)^2 \cos (-\frac{\pi}{2}) + 2 \left(- \frac{\pi}{2}\right) \sin (-\frac{\pi}{2}) + 2 \cos (-\frac{\pi}{2}). \] Вычислим каждое слагаемое: \[ - \frac{\pi^2}{4} \times 0 + 2 \times \left(- \frac{\pi}{2}\right) \times (-1) + 2 \times 0 = 0 + \pi + 0 = \pi. \] Итак, \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 \sin x dx = 2 - \pi. \] Следовательно, \[ E[X^2] = - (2 - \pi) = \pi - 2. \] **Итог:** \[ E[X] = -1, \quad D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = (\pi - 2) - (-1)^2 = (\pi - 2) - 1 = \pi - 3. \] --- ### в) Вероятность попадания в интервал \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\) \[ P \left( -\frac{\pi}{3} \leq X \leq \frac{\pi}{4} \right) = F \left( \frac{\pi}{4} \right) - F \left( -\frac{\pi}{3} \right). \] - Для \(x = \frac{\pi}{4} > 0\): \(F(x) = 1\). - Для \(x = -\frac{\pi}{3}\): \[ F(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}. \] Итак, \[ P = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \] --- ### г) Графики \(F(x)\) и \(f(x)\) - \(F(x)\): - Постепенно равна 0 при \(x \leq -\frac{\pi}{2}\), - Ростает по кривой \(\cos x\) на \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\), - Обладает nivel 1 для \(x > 0\). - \(f(x)\): - Нулю вне интервала \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\), - Внутри интервала — это график \(-\