Реши задачу
Давайте шаг за шагом решим задачу.
Задача: дана случайная величина \(X\) с функцией распределения
\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2}; \\ \cos x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0; \\ 1, & x > 0. \end{cases} \]
Требуется найти:
а) плотность распределения \(f(x)\);
б) математическое ожидание и дисперсию;
в) вероятность попасть в интервал \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\);
г) построить графики \(F(x)\) и \(f(x)\).
а) Плотность распределения \(f(x)\)
Плотность — это производная функции распределения:
\[ f(x) = \frac{d}{dx} F(x). \]
Разделим по отрезкам.
Область определения \(F(x)\):
- \(x \leq -\frac{\pi}{2}\): \(F(x) = 0\); следовательно, \(f(x) = 0\).
- \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\): \(F(x) = \cos x\); производная: \(f(x) = -\sin x\).
- \(x > 0\): \(F(x) = 1\); производная: \(f(x) = 0\).
ИТОГ:
\[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -\frac{\pi}{2}, \\ -\sin x, & -\frac{\pi}{2} < x \leq 0, \\ 0, & x > 0. \end{cases} \]
б) Математическое ожидание \(E[X]\) и дисперсия \(D[X]\)
Математическое ожидание:
\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx. \]
Учитываем, что \(f(x) \neq 0\) только на \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\):
\[ E[X] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x (-\sin x) dx. \]
Вычисление:
\[ E[X] = - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x \sin x dx. \]
Рассмотрим \(\int x \sin x dx\):
Используем интегрирование по частям:
- \(u = x \Rightarrow du = dx\),
- \(dv = \sin x dx \Rightarrow v = -\cos x\).
Тогда:
\[ \int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C. \]
Подставим пределы:
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x \sin x dx = \left[-x \cos x + \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}. \]
Вычислим:
- при \(x=0\):
\[ -0 \cdot \cos 0 + \sin 0 = 0 + 0 = 0. \]
- при \(x = -\frac{\pi}{2}\):
\[ -(-\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} \cdot 0 + (-1) = -1. \]
Итак,
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x \sin x dx = 0 - (-1) = 1. \]
Следовательно,
\[ E[X] = - \times 1 = -1. \]
Теперь дисперсия:
\[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2. \]
Посчитаем \(E[X^2]\):
\[ E[X^2] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 (-\sin x) dx = - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 \sin x dx. \]
Вычислим \(\int x^2 \sin x dx\):
используем дважды интегрирование по частям.
Первый шаг:
- \(u = x^2 \Rightarrow du = 2x dx\),
- \(dv = \sin x dx \Rightarrow v = - \cos x\).
Тогда:
\[ \int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx. \]
Посчитаем \(\int x \cos x dx\):
— Вновь по частям:
- \(u = x \Rightarrow du = dx\),
- \(dv = \cos x dx \Rightarrow v = \sin x\).
Итак:
\[ \int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C. \]
Подставим обратно:
\[ \int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2 (x \sin x + \cos x) + C. \]
Рассмотрим пределы от \(-\frac{\pi}{2}\) до 0:
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 \sin x dx = \left[-x^2 \cos x + 2 x \sin x + 2 \cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}. \]
Вычислим на границах:
- при \(x=0\):
\[ -0^2 \cdot \cos 0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin 0 + 2 \cos 0 = 0 + 0 + 2 \times 1 = 2. \]
- при \(x = -\frac{\pi}{2}\):
\[ - \left(-\frac{\pi}{2}\right)^2 \cos (-\frac{\pi}{2}) + 2 \left(- \frac{\pi}{2}\right) \sin (-\frac{\pi}{2}) + 2 \cos (-\frac{\pi}{2}). \]
Вычислим каждое слагаемое:
\[ - \frac{\pi^2}{4} \times 0 + 2 \times \left(- \frac{\pi}{2}\right) \times (-1) + 2 \times 0 = 0 + \pi + 0 = \pi. \]
Итак,
\[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} x^2 \sin x dx = 2 - \pi. \]
Следовательно,
\[ E[X^2] = - (2 - \pi) = \pi - 2. \]
Итог:
\[ E[X] = -1, \quad D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = (\pi - 2) - (-1)^2 = (\pi - 2) - 1 = \pi - 3. \]
в) Вероятность попадания в интервал \(\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}\right]\)
\[ P \left( -\frac{\pi}{3} \leq X \leq \frac{\pi}{4} \right) = F \left( \frac{\pi}{4} \right) - F \left( -\frac{\pi}{3} \right). \]
- Для \(x = \frac{\pi}{4} > 0\): \(F(x) = 1\).
- Для \(x = -\frac{\pi}{3}\):
\[ F(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}. \]
Итак,
\[ P = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]
г) Графики \(F(x)\) и \(f(x)\)
\(F(x)\):
- Постепенно равна 0 при \(x \leq -\frac{\pi}{2}\),
- Ростает по кривой \(\cos x\) на \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\),
- Обладает nivel 1 для \(x > 0\).
\(f(x)\):
- Нулю вне интервала \(-\frac{\pi}{2} < x \leq 0\),
- Внутри интервала — это график (-\
