Розв'яжіть систему рівнянь: {х² - у² = 5 {3х - у = 7 Знайти добуток х1 • у1 та х2 • у2 У відповідь запиши добуток, який бвльше нуля

Розв’яжемо цю систему рівнянь та знайдемо добутки коренів для кожного розв’язку.

Дана система:

1. \( x^2 - y^2 = 5 \) (рівняння 1)
2. \( 3x - y = 7 \) (рівняння 2)

Крок 1: Виразимо \( y \) з другого рівняння \[ y = 3x - 7 \]

Крок 2: Підставимо це вираження у перше рівняння: \[ x^2 - (3x - 7)^2 = 5 \]

Розкриємо квадрат: \[ x^2 - [9x^2 - 42x + 49] = 5 \]

Змінюємо знак: \[ x^2 - 9x^2 + 42x - 49 = 5 \]

Об’єднуємо подібні: \[ -8x^2 + 42x - 49 = 5 \]

Перенесемо 5 в ліву частину: \[ -8x^2 + 42x - 54 = 0 \]

Поділимо всю рівняння на -2 для спрощення: \[ 4x^2 - 21x + 27 = 0 \]

Тепер вирішимо квадратичне рівняння: \[ 4x^2 - 21x + 27 = 0 \]

Знайдемо дискримінант: \[ D = (-21)^2 - 4 \times 4 \times 27 = 441 - 432 = 9 \]

Оскільки D > 0, розв’язки є дійсними.

Обчислюємо корені: \[ x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{9}}{2 \times 4} = \frac{21 \pm 3}{8} \]

Отже,

а) для \( x_1 \): \[ x_1 = \frac{21 + 3}{8} = \frac{24}{8} = 3 \]

б) для \( x_2 \): \[ x_2 = \frac{21 - 3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \]

Крок 3: Знаходимо відповідні \( y \):

• Для \( x_1 = 3 \): \[ y_1 = 3 \times 3 - 7 = 9 - 7 = 2 \]

• Для \( x_2 = \frac{9}{4} \): \[ y_2 = 3 \times \frac{9}{4} - 7 = \frac{27}{4} - 7 = \frac{27}{4} - \frac{28}{4} = -\frac{1}{4} \]

Крок 4: Обчислюємо добутки \( x_1 y_1 \) та \( x_2 y_2 \):

• Перший добуток: \[ x_1 y_1 = 3 \times 2 = 6 \]
• Другий добуток: \[ x_2 y_2 = \frac{9}{4} \times \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{16} \]

Потребують знайти добуток, який більший за нуль:

• \( 6 > 0 \)
• \( -\frac{9}{16} < 0 \)

Отже, відповідь: 6.

Відповідь:
\(\boxed{6}\)