Задача связана с применением теории вероятностей, в частности — с законом больших чисел и приближением к нормальному распределению для биномиальной случайной величины. Давайте подробно разберем, как найти вероятность того, что частота попаданий при 500 выстрелах отклонится от ожидаемой вероятности на не более чем 0,04.
Шаг 1: Определение исходных данных
- Вероятность попадания в мишень при одном выстреле: ( p = 0,3 )
- Общее число выстрелов: ( n = 500 )
- Допустимое отклонение частоты попаданий от ( p ): ( \pm 0,04 )
Шаг 2: Построение вероятностной модели
Обозначим случайную величину ( X ) — число попаданий за 500 выстрелов. Тогда:
[
X \sim Биномиальная(n=500, p=0,3)
]
Частота попаданий — это:
[
\hat{p} = \frac{X}{n}
]
Нас интересует вероятность:
[
P \left( |\hat{p} - p| \leq 0,04 \right)
]
или, умножая все на ( n ):
[
P \left( \left| X - np \right| \leq n \times 0,04 \right)
]
Подставляем числа:
[
np = 500 \times 0,3 = 150
]
[
n \times 0,04 = 500 \times 0,04 = 20
]
То есть ищем:
[
P(150 - 20 \leq X \leq 150 + 20) \quad \Longleftrightarrow \quad P(130 \leq X \leq 170)
]
Шаг 3: Использование нормального приближения
При большом ( n ) биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением:
[
X \sim N(\mu, \sigma^2)
]
где
[
\mu = np = 150
]
[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{500 \times 0,3 \times 0,7} = \sqrt{105} \approx 10,247
]
Используем сглаживание (коррекцию Банга-Персии):
[
P(130 \leq X \leq 170) \approx P(129.5 < X < 170.5)
]
Переводим границы в стандартные отклонения ( z )-скор:
[
z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
Для границы 129.5:
[
z_1 = \frac{129.5 - 150}{10,247} \approx \frac{-20.5}{10,247} \approx -2.00
]
Для границы 170.5:
[
z_2 = \frac{170.5 - 150}{10,247} \approx \frac{20.5}{10,247} \approx 2.00
]
Шаг 4: Поиск вероятности по стандартной нормали
Наиболее популярные таблицы или калькуляторы показывают:
[
P(-2.00 < Z < 2.00) \approx 0,9544
]
Это означает, что вероятность того, что частота попаданий отклонится не более чем на 0,04, составляет примерно 95,44%.
Итог:
[
\boxed{
\text{Вероятность} \approx 0,9544
}
]
или примерно 95,44%.
Если есть дополнительные вопросы или нужна более глубокая детализация — скажите!
