Вероятность попадания в мишень при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Какова вероятность того, что при 500 выстрелах частота попаданий в мишень отклонится от вероятности р не…

Задача связана с применением теории вероятностей, в частности — с законом больших чисел и приближением к нормальному распределению для биномиальной случайной величины. Давайте подробно разберем, как найти вероятность того, что частота попаданий при 500 выстрелах отклонится от ожидаемой вероятности на не более чем 0,04.

---

Шаг 1: Определение исходных данных

• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле: \( p = 0,3 \)
• Общее число выстрелов: \( n = 500 \)
• Допустимое отклонение частоты попаданий от \( p \): \( \pm 0,04 \)

---

Шаг 2: Построение вероятностной модели

Обозначим случайную величину \( X \) — число попаданий за 500 выстрелов. Тогда:

\[ X \sim Биномиальная(n=500, p=0,3) \]

Частота попаданий — это:

\[ \hat{p} = \frac{X}{n} \]

Нас интересует вероятность:

\[ P \left( |\hat{p} - p| \leq 0,04 \right) \]

или, умножая все на \( n \):

\[ P \left( \left| X - np \right| \leq n \times 0,04 \right) \]

Подставляем числа:

\[ np = 500 \times 0,3 = 150 \] \[ n \times 0,04 = 500 \times 0,04 = 20 \]

То есть ищем:

\[ P(150 - 20 \leq X \leq 150 + 20) \quad \Longleftrightarrow \quad P(130 \leq X \leq 170) \]

---

Шаг 3: Использование нормального приближения

При большом \( n \) биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \] где

\[ \mu = np = 150 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{500 \times 0,3 \times 0,7} = \sqrt{105} \approx 10,247 \]

Используем сглаживание (коррекцию Банга-Персии):

\[ P(130 \leq X \leq 170) \approx P(129.5 < X < 170.5) \]

Переводим границы в стандартные отклонения \( z \)-скор:

\[ z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Для границы 129.5:

\[ z_1 = \frac{129.5 - 150}{10,247} \approx \frac{-20.5}{10,247} \approx -2.00 \]

Для границы 170.5:

\[ z_2 = \frac{170.5 - 150}{10,247} \approx \frac{20.5}{10,247} \approx 2.00 \]

---

Шаг 4: Поиск вероятности по стандартной нормали

Наиболее популярные таблицы или калькуляторы показывают:

\[ P(-2.00 < Z < 2.00) \approx 0,9544 \]

Это означает, что вероятность того, что частота попаданий отклонится не более чем на 0,04, составляет примерно 95,44%.

---

Итог:

\[ \boxed{ \text{Вероятность} \approx 0,9544 } \]

или примерно 95,44%.

Если есть дополнительные вопросы или нужна более глубокая детализация — скажите!