исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1; 2. умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число…
Исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1; 2. умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 1, а выполняя вторую, умножает это число на b. Программа для исполнителя Альфа — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11221 переводит число 2 в число 197. Определите значение b
Рассмотрим задачу подробнее. Нам дана программа из команд, которую выполняет исполнитель Альфа.
Команды:
- Прибавить 1 (обозначим как команду 1)
- Умножить на \(b\) (обозначим как команду 2).
Параметры:
- \(b \geq 2\) — неизвестное натуральное число.
- Начальное число: 2.
- Итоговое число после выполнения программы: 197.
- Программа: 11221.
Распишем пошагово выполнение программы 11221.
Обозначим текущее число на каждом шаге как \(x_i\).
Начинаем:
\[
x_0 = 2
\]
Применяем команды по порядку:
Команда 1: прибавляем 1:
\[ x_1 = x_0 + 1 = 2 + 1 = 3 \]Команда 1: прибавляем 1:
\[ x_2 = x_1 + 1 = 3 + 1 = 4 \]Команда 2: умножаем на \(b\):
\[ x_3 = x_2 \times b = 4b \]Команда 2: умножаем на \(b\):
\[ x_4 = x_3 \times b = 4b \times b = 4b^2 \]Команда 1: прибавляем 1:
\[ x_5 = x_4 + 1 = 4b^2 + 1 \]
После выполнения всей программы итоговое число:
\[
x_5 = 197
\]
Получаем уравнение:
\[ 4b^2 + 1 = 197 \]
Вычитаем 1 из обеих частей:
\[
4b^2 = 196
\]
Делим обе части на 4:
\[
b^2 = \frac{196}{4} = 49
\]
Извлекаем квадратный корень:
\[
b = \pm 7
\]
Так как \(b \geq 2\), то
\[
b = 7
\]
Ответ:
\[ \boxed{b = 7} \]
