Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом. ### Условие задачи: - Есть 5 одинаковых мишеней. - На каждую мишень испытание даёт не более двух выстрелов. - Вероятность попасть по мишени одним выстрелом — \( p = 0,6 \). - Нам нужно найти, во сколько раз вероятность того, что стрелок поразит **ровно 5 мишеней**, больше вероятности того, что он поразит **ровно 4 мишени**. --- ### Основные идеи: - Вероятность поразить мишень одним выстрелом: \( p = 0,6 \). - Следовательно, вероятность НЕ попасть по мишени одним выстрелом: \( q = 1 - p = 0,4 \). Каждая мишень может быть поражена: - за один выстрел, или - за два выстрела. Общая вероятность того, что мишень будет поражена, зависит от количества выстрелов, которые по ней произведены и результата каждого из них. --- ### Расчёт вероятностей по мишени: Пусть событие поражения мишени: - **За один выстрел:** \[ P(\text{поразить за 1 выстрел}) = p = 0,6 \] - **За два выстрела:** Возможны два сценария: 1. Первый выстрел поразил, второй — не нужен: вероятность — \( p \). 2. Не поразил первый, второй — поразил: вероятность — \( q \times p \). Общий шанс, что мишень будет поражена за два выстрела — если по крайней мере один из двух выстрелов поразил мишень, то есть \[ P(\text{поражена за два выстрела}) = 1 - P(\text{оба промах}) = 1 - q^2 = 1 - (0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84 \] Однако, подробнее: Вероятность, что за два выстрела мишень **не побита** = оба промаха = \( q^2 = 0,16 \). Значит, вероятность, что за два выстрела мишень **побита**: \[ P(\text{побита за два выстрела}) = 1 - q^2 = 0,84 \] --- ### Важная часть: Итак, для каждой мишени: - *Вероятность поражения за 1 выстрел:* \( p = 0,6 \). - *Вероятность поражения за 2 выстрела:* \( 1 - q^2 = 0,84 \). Обратите внимание, что в условии указано, что на каждую мишень даётся не более двух выстрелов. Следовательно, если мишень не поражена за один выстрел, то на второй — есть шанс поразить её. --- ### Теперь вычислим вероятности для всего мероприятия (по 5 мишеням): Обозначим: - событие \( A \): стрелок поразит ровно 5 мишеней, - событие \( B \): стрелок поразит ровно 4 мишени. --- ## Вероятность \( P(A) \) — поразить все 5 мишеней Для этого все 5 мишеней должны быть поражены (за один или два выстрела). Вероятность поражения одной мишени: \[ P_{\text{мишень}} = \text{вероятность, что мишень поражена (за 1 или 2 выстрела)} = 0,84 \] Поскольку мишени независимы, тогда: \[ P(A) = P_{\text{мишемени поражены}}^{5} = (0,84)^5 \] --- ## Вероятность \( P(B) \) — поразить ровно 4 из 5 мишеней Здесь нужно учесть, что ровно 4 мишени поражены, а одна — нет. Вероятность поражения мишени: \( 0,84 \) Вероятность непоражения мишени: \( 1 - 0,84 = 0,16 \) Наконец, вероятность, что ровно 4 из 5 поражены: \[ P(B) = \binom{5}{4} \times (0,84)^4 \times (0,16)^1 \] \[ P(B) = 5 \times (0,84)^4 \times 0,16 \] --- ## Итоговая формула для искомого отношения: \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{(0,84)^5}{5 \times (0,84)^4 \times 0,16} \] После сокращения: \[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{(0,84)^5}{5 \times (0,84)^4 \times 0,16} = \frac{0,84}{5 \times 0,16} = \frac{0,84}{0,8} = 1.05 \] ## Итог: **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Вероятность того, что стрелок поразит ровно 5 мишеней, в } \approx 1.05 \text{ раз больше, чем вероятность поразить ровно 4} } \] --- Если хотите, я могу помочь вам с более формальными вычислениями или объяснениями!