Давайте решим задачу, используя вероятность и аппроксимацию нормальным распределением (Закон больших чисел и Центральная предельная теорема).
Шаг 1: Вводные данные
- Вероятность попадания в мишень при одном выстреле: ( p = 0,3 )
- Количество выстрелов: ( n = 500 )
- Допустимое отклонение частоты попаданий: ( \varepsilon = 0,04 )
Нас интересует вероятность того, что доля попаданий в мишень ( \hat{p} = X/n ) (где ( X ) — число попаданий) отличается от истинной вероятности ( p ) не более чем на 0,04:
[
P \left( | \hat{p} - p | \leq 0,04 \right)
]
или, эквивалентно,
[
P \left( | X/n - p | \leq 0,04 \right)
]
что равно
[
P \left( | X - np | \leq n \times 0,04 \right)
]
Шаг 2: Построение вероятностного события
Кол-во попаданий ( X ) по биномиальной модели: ( X \sim \text{Binomial}(n, p) ).
Для больших ( n ) биномиальное распределение аппроксимируется нормальным:
[
X \sim N(\mu, \sigma^2)
]
где
[
\mu = np = 500 \times 0,3 = 150
]
[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{500 \times 0,3 \times 0,7} = \sqrt{105} \approx 10.247
]
Шаг 3: Перепишем условие в терминах нормального распределения
Исключим вероятность, которую нужно найти:
[
P \left( | X - 150 | \leq 500 \times 0,04 = 20 \right)
]
Это вероятность того, что ( X ) лежит в интервале:
[
150 - 20 \leq X \leq 150 + 20
]
или
[
130 \leq X \leq 170
]
Для аппроксимации получаем:
[
P(130 \leq X \leq 170) \approx P \left( \frac{130 - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{170 - \mu}{\sigma} \right)
]
где ( Z ) — стандартная нормально распределенная величина.
Подставляем значения:
[
Z_{1} = \frac{130 - 150}{10.247} \approx \frac{-20}{10.247} \approx -1.951
]
[
Z_{2} = \frac{170 - 150}{10.247} \approx \frac{20}{10.247} \approx 1.951
]
Шаг 4: Находим вероятность по таблице стандартного нормального распределения
Используем таблицу или калькулятор:
[
P(Z \leq 1.951) \approx 0.9744
]
[
P(Z \leq -1.951) \approx 0.0256
]
Следовательно,
[
P(-1.951 \leq Z \leq 1.951) = 0.9744 - 0.0256 = 0.9488
]
Ответ:
Вероятность того, что доля попаданий при 500 выстрелах отклонится от истинной вероятности ( p=0,3 ) не более чем на 0,04 составляет примерно 0,949 или 94,9%.
Если нужны более точные значения или объяснения — обращайтесь!
