Вероятность попадания в мишень при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Какова вероятность того, что при 500 выстрелах частота попаданий в мишень отклонится от вероятности р не…

Давайте решим задачу, используя вероятность и аппроксимацию нормальным распределением (Закон больших чисел и Центральная предельная теорема).

Шаг 1: Вводные данные

• Вероятность попадания в мишень при одном выстреле: \( p = 0,3 \)
• Количество выстрелов: \( n = 500 \)
• Допустимое отклонение частоты попаданий: \( \varepsilon = 0,04 \)

Нас интересует вероятность того, что доля попаданий в мишень \( \hat{p} = X/n \) (где \( X \) — число попаданий) отличается от истинной вероятности \( p \) не более чем на 0,04:

\[ P \left( | \hat{p} - p | \leq 0,04 \right) \]

или, эквивалентно,

\[ P \left( | X/n - p | \leq 0,04 \right) \] что равно \[ P \left( | X - np | \leq n \times 0,04 \right) \]

Шаг 2: Построение вероятностного события

Кол-во попаданий \( X \) по биномиальной модели: \( X \sim \text{Binomial}(n, p) \).

Для больших \( n \) биномиальное распределение аппроксимируется нормальным:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \] где

\[ \mu = np = 500 \times 0,3 = 150 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{500 \times 0,3 \times 0,7} = \sqrt{105} \approx 10.247 \]

Шаг 3: Перепишем условие в терминах нормального распределения

Исключим вероятность, которую нужно найти:

\[ P \left( | X - 150 | \leq 500 \times 0,04 = 20 \right) \]

Это вероятность того, что \( X \) лежит в интервале:

\[ 150 - 20 \leq X \leq 150 + 20 \] или \[ 130 \leq X \leq 170 \]

Для аппроксимации получаем:

\[ P(130 \leq X \leq 170) \approx P \left( \frac{130 - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{170 - \mu}{\sigma} \right) \] где \( Z \) — стандартная нормально распределенная величина.

Подставляем значения:

\[ Z_{1} = \frac{130 - 150}{10.247} \approx \frac{-20}{10.247} \approx -1.951 \] \[ Z_{2} = \frac{170 - 150}{10.247} \approx \frac{20}{10.247} \approx 1.951 \]

Шаг 4: Находим вероятность по таблице стандартного нормального распределения

Используем таблицу или калькулятор:

\[ P(Z \leq 1.951) \approx 0.9744 \] \[ P(Z \leq -1.951) \approx 0.0256 \]

Следовательно,

\[ P(-1.951 \leq Z \leq 1.951) = 0.9744 - 0.0256 = 0.9488 \]

Ответ:

Вероятность того, что доля попаданий при 500 выстрелах отклонится от истинной вероятности \( p=0,3 \) не более чем на 0,04 составляет примерно 0,949 или 94,9%.

Если нужны более точные значения или объяснения — обращайтесь!