решите систему уравнений методом подстановки {3(2x-y)+2(x-y)=3, 2(y-3x)-5(x+y)=-14
Давайте решим систему уравнений методом подстановки:
\[ 1) \quad 3(2x - y) + 2(x - y) = 3 \] \[ 2) \quad 2(y - 3x) - 5(x + y) = -14 \]
Шаг 1. Упростим первое уравнение
Развернем скобки:
\[ 3(2x - y) = 6x - 3y \] \[ 2(x - y) = 2x - 2y \]
Теперь сложим их:
\[ (6x - 3y) + (2x - 2y) = 3 \] Объединим подобные слагаемые:
\[ (6x + 2x) + (-3y - 2y) = 3 \] \[ 8x - 5y = 3 \]
Это — первое упрощенное уравнение:
\[ \boxed{8x - 5y = 3} \]
Шаг 2. Упростим второе уравнение
Раскроем скобки:
\[ 2(y - 3x) = 2y - 6x \] \[ -5(x + y) = -5x - 5y \]
Подставим:
\[ (2y - 6x) + (-5x - 5y) = -14 \]
Объединим подобные:
\[ 2y - 6x - 5x - 5y = -14 \]
\[ (2y - 5y) + (-6x - 5x) = -14 \]
\[ -3y - 11x = -14 \]
Это — второе упростившееся уравнение:
\[ \boxed{-3y - 11x = -14} \]
Шаг 3. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения
Из уравнения:
\[ 8x - 5y = 3 \]
выразим \( y \):
\[ -5y = 3 - 8x \]
\[ y = -\frac{3 - 8x}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5}x \]
Обозначим:
\[ \boxed{y = \frac{8}{5}x - \frac{3}{5}} \]
Шаг 4. Подставим выражение для \( y \) в уравнение \( -3y - 11x = -14 \)
Подставим:
\[ -3 \left(\frac{8}{5}x - \frac{3}{5}\right) - 11x = -14 \]
Раскроем скобки:
\[ -3 \times \frac{8}{5}x + 3 \times \frac{3}{5} - 11x = -14 \]
Это:
\[ -\frac{24}{5}x + \frac{9}{5} - 11x = -14 \]
Приведем к общему знаменателю 5 для всех слагаемых:
\[ -\frac{24}{5}x - \frac{55}{5}x + \frac{9}{5} = -14 \]
Объединим в левом выражении:
\[ \left(-\frac{24}{5}x - \frac{55}{5}x\right) + \frac{9}{5} = -14 \] \[ -\frac{79}{5}x + \frac{9}{5} = -14 \]
Умножим всю равенство на 5, чтобы избавиться от дробей:
\[ -79x + 9 = -70 \]
Вычитем 9 с обеих сторон:
\[ -79x = -70 - 9 \] \[ -79x = -79 \]
Разделим на -79:
\[ x = \frac{-79}{-79} = 1 \]
Шаг 5. Найдем \( y \)
Подставим \( x = 1 \) в выражение для \( y \):
\[ y = \frac{8}{5} \times 1 - \frac{3}{5} = \frac{8}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]
Итог:
\[ \boxed{ \begin{aligned} x &= 1 \\ y &= 1 \end{aligned} } \]
Проверка в исходных уравнениях:
Первое уравнение:
\[ 3(2x - y) + 2(x - y) = 3 \] Подставим \( x=1 \), \( y=1 \):
\[ 3(2 \times 1 - 1) + 2(1 - 1) = 3(2 - 1) + 2(0) = 3 \times 1 + 0 = 3 \]
Совпадает.
Второе уравнение:
\[ 2(y - 3x) - 5(x + y) = -14 \] Подставим:
\[ 2(1 - 3 \times 1) - 5(1 + 1) = 2(1 - 3) - 5(2) = 2(-2) - 10 = -4 - 10 = -14 \]
Также совпадает.
Ответ:
\[ \boxed{ x = 1, \quad y = 1 } \]
Это — решение системы уравнений.
