решите уравнение
Дано уравнение: \[ \frac{(1/3)^x}{3^x - 1} = \frac{225 \cdot 5^{-2}}{1} \]
Шаг 1: упростим правую часть уравнения.
В выражении \( 225 \cdot 5^{-2} \):
- \( 225 = 15^2 \) или \( (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \)
- Тогда: \( 225 \cdot 5^{-2} = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 5^{-2} = 3^2 \cdot \cancel{5^2} \cdot 5^{-2} = 3^2 \)
Следовательно, правая часть равна:
\[
3^2 = 9
\]
Теперь уравнение выглядит так: \[ \frac{(1/3)^x}{3^x - 1} = 9 \]
Шаг 2: выразим \( (1/3)^x \).
Знаем, что:
\[
(1/3)^x = 3^{-x}
\]
Подставим: \[ \frac{3^{-x}}{3^x - 1} = 9 \]
Шаг 3: умножим обе части уравнения на \( 3^x - 1 \): \[ 3^{-x} = 9(3^x - 1) \]
Раскроем скобки: \[ 3^{-x} = 9 \cdot 3^x - 9 \]
Шаг 4: выразим \( 3^{-x} \) через \( 3^x \):
- \( 3^{-x} = \frac{1}{3^x} \)
Обозначим: \[ t = 3^x \]
Тогда уравнение принимает вид: \[ \frac{1}{t} = 9t - 9 \]
Шаг 5: умножим обе части на \( t \) (при \( t \neq 0 \)): \[ 1 = t (9t - 9) \]
Раскроем скобки: \[ 1 = 9 t^2 - 9 t \]
Разделим обе части на 1 (оставим как есть), получим квадратичное уравнение: \[ 9 t^2 - 9 t - 1 = 0 \]
Шаг 6: решим квадратичное уравнение: \[ 9 t^2 - 9 t - 1 = 0 \]
Используем формулу корней: \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1)}}{2 \cdot 9} \]
Вычислим дискриминант: \[ D = 81 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 81 + 36 = 117 \]
Значит: \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{117}}{18} \]
\(\sqrt{117}\) можно упростить: \[ \sqrt{117} = \sqrt{9 \times 13} = 3 \sqrt{13} \]
Следовательно: \[ t = \frac{9 \pm 3 \sqrt{13}}{18} = \frac{3 (3 \pm \sqrt{13})}{18} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{6} \]
Итак, два решения для \( t \): \[ t_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{6} \] \[ t_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{6} \]
Шаг 7: вернемся к \( x \): \[ t = 3^x \]
Значения \( t \) должны быть положительными, так как \( 3^x > 0 \) для любого реального \( x \).
Рассмотрим каждое:
\( t_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{6} \):
Поскольку \( \sqrt{13} \approx 3.6 \), то: \[ t_1 \approx \frac{3 + 3.6}{6} = \frac{6.6}{6} = 1.1 > 0 \] вполне допустимо.\( t_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{6} \):
\[ 3 - 3.6 = -0.6 \] Тогда: \[ t_2 \approx \frac{-0.6}{6} = -0.1 < 0 \] Поскольку \( 3^x \) не может быть отрицательным, этот корень отвергаем.
Следовательно, единственное допустимое значение: \[ 3^x = \frac{3 + \sqrt{13}}{6} \]
Теперь решим для \( x \): \[ x = \log_3 \left(\frac{3 + \sqrt{13}}{6}\right) \]
Это и есть окончательный ответ.
