Давайте поэтапно решим задачу и подробно объясним каждый шаг.
Дано:
- Сторона квадрата ( a = 1,м )
- Маштаб заряда ( q = 1,мКл = 1 \times 10^{-3},Кл )
- Заряд, помещённый в центр квадрата, ( Q = 2,мКл = 2 \times 10^{-3},Кл )
- Коэффициент пропорциональности (\ k = 9 \times 10^{9},\Н \cd{м^2/Кл^2})
Нужно найти:
Потенциальную энергию взаимодействия зарядов в положении ( Q ), то есть ( U ).
Шаг 1. Определение потенциала в центре квадрата
Потенциал в точке, созданный несколькими точечными зарядами, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом отдельно:
[
V = \sum \frac{k q_i}{r_i}
]
Здесь:
- ( q_i ) — заряды на вершинах квадрата (все одинаковые и равны ( q ))
- ( r_i ) — расстояния от вершины квадрата до центра
Так как квадрат симметричен и все заряды одинаковые и расположены на вершинах квадрата, расстояние от каждого заряда до центра квадрата:
[
r = \frac{\sqrt{2}}{2}a
]
(это диагональ квадрата, делённая пополам).
Объяснение: диагональ квадрата длиной ( a ) равна ( d = a\sqrt{2} ).
Расстояние от вершины до центра — половина диагонали:
[
r = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}a
]
Подставим ( a=1,м ):
[
r = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707,м
]
Шаг 2. Вычисление потенциала в центре квадрата
Потенциал:
[
V = 4 \times \frac{k q}{r}
]
(так как 4 одинаковых заряда). Подставим значения:
[
V = 4 \times \frac{(9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-3})}{0.707}
]
Вычислим числитель:
[
(9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-3}) = 9 \times 10^6
]
Теперь делим:
[
V = 4 \times \frac{9 \times 10^6}{0.707} \approx 4 \times 12.727 \times 10^6
]
(так как ( \frac{9 \times 10^6}{0.707} \approx 12.727 \times 10^6 ))
В итоге:
[
V \approx 4 \times 12.727 \times 10^6 = 50.908 \times 10^6,\text{В}
]
Шаг 3. Расчёт потенциальной энергии ( U )
Потенциальная энергия взаимодействия заряда ( Q ) с созданным им потенциалом:
[
U = Q \times V
]
Подставим значения:
[
Q = 2 \times 10^{-3},Кл
]
[
U = 2 \times 10^{-3} \times 50.908 \times 10^6 = (2 \times 50.908) \times 10^{3}
]
[
U \approx 101.816 \times 10^{3} = 101,816,\text Джоулей
]
Шаг 4. Перевод в килоджоули и округление
1 килоджоуль = 1000 Джоулей.
[
U \approx \frac{101,816}{1000} \approx 102, \text{kДж}
]
Ответ: (\boxed{102}) кДж (округлено до целого).
Итог:
Потенциальная энергия точки заряда ( Q = 2,мКл ), находящегося в центре квадрата со сторонами 1 м, равна приблизительно 102 килоджоуля.
