Прямоугольник со сторонами √2/π см и 1 см вращается вокруг большей стороны. Найдите объём полученной фигуры вращения
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- Прямоугольник со сторонами:
- одна сторона равно \(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\) см,
- другая сторона — 1 см.
- Он вращается вокруг своей большей стороны.
- Нужно найти объем полученной фигуры.
Шаг 1: Определить, какая сторона больше
- Сторона 1: \(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\) см
- Сторона 2: 1 см
Поскольку \(\pi \approx 3.14\), то
\[ \frac{\sqrt{2}}{\pi} \approx \frac{1.414}{3.14} \approx 0.45 \text{ см} \]
Следовательно, \(\frac{\sqrt{2}}{\pi} \approx 0.45\) см, а вторая сторона — 1 см.
Итак, большая сторона — 1 см.
Шаг 2: Определить ось вращения
Задача говорит: вращение вокруг большей стороны — то есть вокруг стороны длиной 1 см.
- Значит, окружность образована при вращении малой стороны (\(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\) см) вокруг оси, расположенной вдоль стороны длиной 1 см.
Шаг 3: Визуализация фигуры
При вращении прямоугольника вокруг его большей стороны получается тременсоном (ротором), а точнее — объем тора (кольца) со внутренним радиусом \( R \) и внешним радиусом \( R + r \):
- Радиус вращения (до центра малой стороны): равен длине большой стороны — 1 см.
- Радиус образующего окружности: равен расстоянию от оси вращения до точки, которая вращается — то есть, длина малой стороны — \(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\).
Шаг 4: Расчет объема тора
Формула объема тора:
\[ V = 2 \pi^2 R r^2 \]
Где:
- \( R \) — радиус большого круга (расстояние до оси вращения), тут — 1 см.
- \( r \) — радиус малой окружности, которая вращается, — \(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\) см.
Иногда используют другую формулу:
\[ V = 2 \pi^2 R r^2 \]
или:
\[ V = 2 \pi R \times (\pi r^2) = (\text{площадь основы} \times высота) \]
В данном случае:
основание: круг радиуса \( r = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \)
вращение выполняется вокруг оси, которая находится на расстоянии \( R = 1 \) см от центра окружности.
Объем тора:
\[ V = 2 \pi R \times \pi r^2 = 2 \pi R \times \pi r^2 \]
или проще:
\[ V = 2 \pi^2 R r^2 \]
Шаг 5: Подставим значения
\[ V = 2 \pi^2 \times 1 \times \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2 \]
Рассчитаем \(\left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2\):
\[ \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{\pi^2} = \frac{2}{\pi^2} \]
Подставляем в формулу:
\[ V = 2 \pi^2 \times 1 \times \frac{2}{\pi^2} \]
Сократим \(\pi^2\):
\[ V = 2 \times 2 = 4 \]
Ответ:
Объем полученной фигуры при вращении — \(\boxed{4\, \text{см}^3}\).
Если нужно более детальное объяснение или есть вопросы — скажите!
