При каких значениях А и В плоскость Ax + By + 3z - 5 = 0 перпендикулярна к прямой x = 3 + 2t, y = 5 - 3t ,z = - 2 - 2t?
Давайте разберемся с задачей по шагам, чтобы определить, при каких значениях A и B плоскость \(Ax + By + 3z - 5 = 0\) перпендикулярна данной прямой.
Шаг 1. Запишем уравнение прямой
Дана прямая в параметрической форме:
\[ \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 - 3t \\ z = -2 - 2t \end{cases} \]
Находим вектор направления прямой:
Вектор направления \(\vec{v}\) — это коэффициенты при \(t\):
\[ \vec{v} = (2, -3, -2) \]
Шаг 2. Запишем уравнение плоскости
Плоскость задана уравнением:
\[ A x + B y + 3 z - 5 = 0 \]
Её нормаль — вектор \(\vec{n}\):
\[ \vec{n} = (A, B, 3) \]
Шаг 3. Условие перпендикулярности
Плоскость перпендикулярна к прямой, если их вектор направления \(\vec{v}\) перпендикулярен вектору нормали \(\vec{n}\). То есть:
\[ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \]
Шаг 4. Расчёт скалярного произведения
Подставляем:
\[ (A, B, 3) \cdot (2, -3, -2) = 0 \]
Выполняем скалярное произведение:
\[ A \cdot 2 + B \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) = 0 \]
или
\[ 2A - 3B - 6 = 0 \]
Ответ:
\[ \boxed{ 2A - 3B = 6 } \]
Итог:
Плоскость \(A x + B y + 3 z - 5 = 0\) перпендикулярна данной прямой тогда и только тогда, когда выполняет условие:
\[ \boxed{ 2A - 3B = 6 } \]
Все значения \(A\) и \(B\), удовлетворяющие этому уравнению, обеспечивают перпендикулярность.
Если есть дополнительные вопросы, могу помочь!
