Давайте разберемся с задачей по шагам, чтобы определить, при каких значениях A и B плоскость (Ax + By + 3z - 5 = 0) перпендикулярна данной прямой.
Шаг 1. Запишем уравнение прямой
Дана прямая в параметрической форме:
[
\begin{cases}
x = 3 + 2t \
y = 5 - 3t \
z = -2 - 2t
\end{cases}
]
Находим вектор направления прямой:
Вектор направления (\vec{v}) — это коэффициенты при (t):
[
\vec{v} = (2, -3, -2)
]
Шаг 2. Запишем уравнение плоскости
Плоскость задана уравнением:
[
A x + B y + 3 z - 5 = 0
]
Её нормаль — вектор (\vec{n}):
[
\vec{n} = (A, B, 3)
]
Шаг 3. Условие перпендикулярности
Плоскость перпендикулярна к прямой, если их вектор направления (\vec{v}) перпендикулярен вектору нормали (\vec{n}). То есть:
[
\vec{n} \cdot \vec{v} = 0
]
Шаг 4. Расчёт скалярного произведения
Подставляем:
[
(A, B, 3) \cdot (2, -3, -2) = 0
]
Выполняем скалярное произведение:
[
A \cdot 2 + B \cdot (-3) + 3 \cdot (-2) = 0
]
или
[
2A - 3B - 6 = 0
]
Ответ:
[
\boxed{
2A - 3B = 6
}
]
Итог:
Плоскость (A x + B y + 3 z - 5 = 0) перпендикулярна данной прямой тогда и только тогда, когда выполняет условие:
[
\boxed{
2A - 3B = 6
}
]
Все значения (A) и (B), удовлетворяющие этому уравнению, обеспечивают перпендикулярность.
Если есть дополнительные вопросы, могу помочь!
