Давайте решим задачу по шагам.
Задача:
Команда «Химик» играет 4 матча. В каждом матче результат жеребьёвки (кто начнет игру с мячом — «Химик» или команда соперника) является случайным событием с равной вероятностью 1/2. Необходимо найти вероятность того, что «Химик» выиграет жеребьёвку ровно 2 раза из 4.
Шаг 1. Определение вероятности успеха в одном событии
Рассмотрим каждое жеребьёвка как независимое событие:
- Вероятность, что «Химик» выиграет жеребьёвку = ( p = \frac{1}{2} ).
- Вероятность, что «Химик» проиграет жеребьёвку = ( 1 - p = \frac{1}{2} ).
Шаг 2. Вариант, соответствующий условию
Нам нужно найти вероятность того, что «Химик» выиграет ровно 2 раза из 4.
Это — классическая задача биномиального распределения, где:
- ( n = 4 ) — число испытаний (матчей),
- ( k = 2 ) — число успехов (выигранных жеребьёвок),
- ( p = \frac{1}{2} ) — вероятность успеха в каждом испытании.
Формула биномиальной вероятности:
[
P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} ) — биномиальный коэффициент.
Шаг 3. Подставление значений
Найдем ( C(4, 2) ):
[
C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6
]
Тогда вероятность:
[
P(2; 4, \frac{1}{2}) = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}
]
Ответ:
Вероятность того, что «Химик» выиграет жеребьёвку ровно два раза из четырех — (\frac{3}{8}).
Если есть вопросы или нужно объяснение более подробно — расскажу!
