Давайте решим задачу с помощью кругов Эйлера.
Обозначим:
- (A) — множество студентов, изучающих английский язык, (|A|=44),
- (N) — немецкий, (|N|=50),
- (F) — французский, (|F|=49).
Дано:
- ( |A \cap N|=13 ),
- ( |A \cap F|=14 ),
- ( |N \cap F|=12 ),
- ( |A \cap N \cap F|=5 ),
- всего студентов — 100.
Шаг 1. Найдём число студентов, изучающих именно два языка.
Используем формулу для двухмножественных пересечений, исключая тройную:
[
|A \cap N|{только} = |A \cap N| - |A \cap N \cap F|=13 - 5=8,
]
[
|A \cap F|{только} = 14 - 5=9,
]
[
|N \cap F|_{только} =12 - 5=7.
]
Шаг 2. Найдём число студентов, изучающих только один язык.
Обозначим:
- (a) — количество студентов, изучающих только английский,
- (n) — только немецкий,
- (f) — только французский.
Тогда по сути:
[
a = |A| - (число, изучающих английский с другими языками),
]
[
n = |N| - (число, изучающих немецкий с другими языками),
]
[
f = |F| - (число, изучающих французский с другими языками).
]
Но чтобы найти только тех, кто изучает только один язык, нам нужно знать:
[
a = |A| - (|A \cap N|{только} + |A \cap F|{только} + |A \cap N \cap F|).
]
Подставим значения:
[
a = 44 - (8 + 9 + 5) = 44 - 22 = 22,
]
Аналогично для немецкого:
[
n=50 - (8 + 7 + 5) = 50 - 20=30,
]
и для французского:
[
f=49 - (9 + 7 + 5) = 49 - 21=28.
]
Шаг 3. Вычислим количество студентов, не изучающих ни одного языка.
Общее число студентов равно 100. Тогда:
[
\text{Студенты, изучающие хотя бы один язык} = a + n + f + |A \cap N|{только} + |A \cap F|{только} + |N \cap F|_{только} + |A \cap N \cap F| = 22 + 30 + 28 + 8 + 9 + 7 + 5 = 89.
]
Следовательно,
[
\text{Студенты, не изучающие ни одного языка} = 100 - 89 = 11.
]
Ответ:
- Студентов, изучающих только один язык: (\boxed{22 + 30 + 28 = 80}),
- Студентов, не изучающих ни одного языка: (\boxed{11}).
Если нужен ответ по количеству студентов, изучающих только один язык, то это 80 человек.
