(x − 8)4 − 3(x − 8)2 − 54 = 0

Давайте решим уравнение: \[(x - 8)^4 - 3(x - 8)^2 - 54 = 0\] ### Шаг 1. Вводим замену переменной Обратите внимание, что в уравнении есть многочлены степени 4 и 2, и они зависят от выражения \((x - 8)\). Для удобства сделаем замену: \[ t = (x - 8)^2 \] Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 3t - 54 = 0 \] Это — квадратичное уравнение по переменной \( t \). --- ### Шаг 2. Решим квадратичное уравнение Используем формулу для решения квадратичных уравнений: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь: - \( a = 1 \) - \( b = -3 \) - \( c = -54 \) Подставляем: \[ t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-54)}}{2 \times 1} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm 15}{2} \] Теперь найдем оба корня: 1. \( t_1 = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) 2. \( t_2 = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \) --- ### Шаг 3. Возвращение к \( x \) Учитываем, что \( t = (x - 8)^2 \). Следовательно: **Для \( t_1 = 9 \):** \[ (x - 8)^2 = 9 \] \[ x - 8 = \pm \sqrt{9} \] \[ x - 8 = \pm 3 \] Решим для обеих случаев: - \( x - 8 = 3 \Rightarrow x = 11 \) - \( x - 8 = -3 \Rightarrow x = 5 \) **Для \( t_2 = -6 \):** \[ (x - 8)^2 = -6 \] Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным в области действительных чисел, решений для данного уравнения нет. --- ### Итог: **Ответ:** \( x = 5 \) и \( x = 11 \) --- Если потребуется более подробное объяснение или помощь с аналогичными задачами — обращайтесь!