(x − 8)4 − 3(x − 8)2 − 54 = 0

Давайте решим уравнение:
\[(x - 8)^4 - 3(x - 8)^2 - 54 = 0\]

Шаг 1. Вводим замену переменной

Обратите внимание, что в уравнении есть многочлены степени 4 и 2, и они зависят от выражения \((x - 8)\). Для удобства сделаем замену:

\[ t = (x - 8)^2 \]

Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 3t - 54 = 0 \]

Это — квадратичное уравнение по переменной \( t \).

Шаг 2. Решим квадратичное уравнение

Используем формулу для решения квадратичных уравнений:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь:

• \( a = 1 \)
• \( b = -3 \)
• \( c = -54 \)

Подставляем:

\[ t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-54)}}{2 \times 1} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2} \] \[ t = \frac{3 \pm 15}{2} \]

Теперь найдем оба корня:

1. \( t_1 = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
2. \( t_2 = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)

Шаг 3. Возвращение к \( x \)

Учитываем, что \( t = (x - 8)^2 \). Следовательно:

Для \( t_1 = 9 \):

\[ (x - 8)^2 = 9 \] \[ x - 8 = \pm \sqrt{9} \] \[ x - 8 = \pm 3 \]

Решим для обеих случаев:

• \( x - 8 = 3 \Rightarrow x = 11 \)
• \( x - 8 = -3 \Rightarrow x = 5 \)

Для \( t_2 = -6 \):

\[ (x - 8)^2 = -6 \] Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным в области действительных чисел, решений для данного уравнения нет.

Итог:

Ответ: \( x = 5 \) и \( x = 11 \)

Если потребуется более подробное объяснение или помощь с аналогичными задачами — обращайтесь!