.

Дано в условии:

• В прямоугольном треугольнике ∠N = 90°
• ∠K = 60°
• Сумма гипотенузы MK и катета NK равна 11,7 мм: MK + NK = 11,7 мм

Требуется найти длину гипотенузы MK.

Рассмотрим треугольник MNK. Так как ∠N = 90°, то катеты — это MN и NK, а гипотенуза — MK.

В треугольнике с углом 60°, мы можем воспользоваться свойствами 30-60-90 треугольника или синусом и косинусом.

Обозначим:

• NM — катет, противолежащий ∠K
• NK — другой катет, противолежащий ∠N
• MK — гипотенуза

Поскольку ∠N = 90°, то: \[ \text{NK} \] и \[ \text{NM} \] образуют прямой угол.

По условию, ∠K = 60°, значит:

• катет, на противоположной стороне ∠K, — это NM.
• гипотенуза MK — это сторона напротив угла 90°.

Зная, что сумма MK + NK равна 11,7 мм, необходимо выразить MN и NK через известные углы.

Для 30-60-90 треугольника:

• гипотенуза ≡ 2 × короткий катет
• длинный катет ≡ √3 × короткий катет

Поскольку ∠K = 60°, то сторона NM: \[ NM = \frac{MK}{2} \] а сторона NK: \[ NK = \frac{\sqrt{3}}{2} \times MK \]

Обозначим гипотенузу MK как x. Тогда:

\[ NM = \frac{x}{2} \] \[ NK = \frac{\sqrt{3}}{2} x \]

Дано: \[ MK + NK = 11,7 \] Подставляем: \[ x + \frac{\sqrt{3}}{2} x = 11,7 \]

Выносим x за скобки: \[ x \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 11,7 \]

Найдем сумму в скобках: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \] Это примерно: \[ 1 + \frac{1.732}{2} = 1 + 0.866 = 1.866 \]

Теперь решаем уравнение: \[ x \times 1.866 = 11.7 \] \[ x = \frac{11.7}{1.866} \approx 6.27 \]

Это — длина гипотенузы MK.

Ответ: \[ \boxed{6.3 \text{ мм} } \]

Округляем до двух знаков после запятой.
Значит, длина гипотенузы MK примерно 6.3 мм.