.

Дано в условии: - В прямоугольном треугольнике ∠N = 90° - ∠K = 60° - Сумма гипотенузы MK и катета NK равна 11,7 мм: MK + NK = 11,7 мм Требуется найти длину гипотенузы MK. Рассмотрим треугольник MNK. Так как ∠N = 90°, то катеты — это MN и NK, а гипотенуза — MK. В треугольнике с углом 60°, мы можем воспользоваться свойствами 30-60-90 треугольника или синусом и косинусом. Обозначим: - NM — катет, противолежащий ∠K - NK — другой катет, противолежащий ∠N - MK — гипотенуза Поскольку ∠N = 90°, то: \[ \text{NK} \] и \[ \text{NM} \] образуют прямой угол. По условию, ∠K = 60°, значит: - катет, на противоположной стороне ∠K, — это NM. - гипотенуза MK — это сторона напротив угла 90°. Зная, что сумма MK + NK равна 11,7 мм, необходимо выразить MN и NK через известные углы. Для 30-60-90 треугольника: - гипотенуза ≡ 2 × короткий катет - длинный катет ≡ √3 × короткий катет Поскольку ∠K = 60°, то сторона NM: \[ NM = \frac{MK}{2} \] а сторона NK: \[ NK = \frac{\sqrt{3}}{2} \times MK \] Обозначим гипотенузу MK как x. Тогда: \[ NM = \frac{x}{2} \] \[ NK = \frac{\sqrt{3}}{2} x \] Дано: \[ MK + NK = 11,7 \] Подставляем: \[ x + \frac{\sqrt{3}}{2} x = 11,7 \] Выносим x за скобки: \[ x \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 11,7 \] Найдем сумму в скобках: \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \] Это примерно: \[ 1 + \frac{1.732}{2} = 1 + 0.866 = 1.866 \] Теперь решаем уравнение: \[ x \times 1.866 = 11.7 \] \[ x = \frac{11.7}{1.866} \approx 6.27 \] Это — длина гипотенузы MK. **Ответ:** \[ \boxed{6.3 \text{ мм} } \] Округляем до двух знаков после запятой. Значит, длина гипотенузы MK примерно 6.3 мм.