Реши
Конечно! Рассмотрим данную систему неравенств шаг за шагом и решим её:
Задача: \[ \begin{cases} \frac{1 + (6 + x)^2}{5x + 48} \geq 0, \\ 5x + 8 \leq 6(3 - 4x). \end{cases} \]
Шаг 1: Решение второго неравенства
Посмотрим на второе неравенство: \[ 5x + 8 \leq 6(3 - 4x). \]
Раскроем скобки: \[ 5x + 8 \leq 18 - 24x. \]
Перенесём все в левую сторону: \[ 5x + 8 - 18 + 24x \leq 0, \]
или: \[ (5x + 24x) + (8 - 18) \leq 0, \] \[ 29x - 10 \leq 0. \]
Теперь выразим \(x\): \[ 29x \leq 10, \] \[ x \leq \frac{10}{29}. \]
Итак, первое условие: \[ x \leq \frac{10}{29}. \]
Шаг 2: Решение первого неравенства
Первое неравенство: \[ \frac{1 + (6 + x)^2}{5x + 48} \geq 0. \]
Рассмотрим его отдельно.
Изучение знаменателя:
Знаменатель: \[ 5x + 48. \] Он не должен равняться нулю, иначе выражение не определено. Найдём его: \[ 5x + 48 = 0, \] \[ 5x = -48, \] \[ x = -\frac{48}{5} = -9.6. \]
Значит, в точке \(x = -\frac{48}{5}\) выражение не определено. В остальных случаях выражение определено.
Анализ числителя:
Числитель: \[ 1 + (6 + x)^2, \] который всегда положителен, так как: \[ (6 + x)^2 \geq 0, \] и добавляя 1, получаем: \[ 1 + (6 + x)^2 > 0, \] для всех \(x\).
Вывод по первому неравенству:
\[ \frac{\text{положительное}}{\text{знаменатель}} \geq 0. \]
Это условие выполняется в тех точках, где:
- Знаменатель положителен: \(5x + 48 > 0 \Rightarrow x > -\frac{48}{5} = -9.6\).
- Знаменатель отрицателен: \(5x + 48 < 0 \Rightarrow x < -9.6\).
Так как числитель всегда положителен, то:
- Если знаменатель положителен (больше нуля), дробь будет тоже больше или равна нулю.
- Если знаменатель отрицателен (меньше нуля), дробь будет отрицательна, а не удовлетворять неравенству.
Итог по первому неравенству:
\[ \frac{1 + (6 + x)^2}{5x + 48} \geq 0, \] выполняется при
\[ x > -\frac{48}{5} = -9.6, \]
и, так как числитель положителен для любого \(x\), то дробь больше или равна нулю на интервале: \[ x > -9.6, \] или в неравенстве с включением точки, где деление определено — так как числитель положителен и не равен нулю, дробь равна нулю только при \(x\), при котором числитель равен нулю.
Но числитель \(1 + (6 + x)^2 = 0\) не имеет решений, так как сумма 1 и квадрата не может быть равна нулю.
Следовательно, исключая точку \(x = -9.6\) из области определения, получаем:
\[ x > -\frac{48}{5}. \]
Итог системы:
- Первое условие: \(x > -\frac{48}{5}\).
- Второе условие: \(x \leq \frac{10}{29}\).
Общая область решений — пересечение двух условий:
\[ - \frac{48}{5} < x \leq \frac{10}{29}. \]
\[ \boxed{ \text{Ответ: } \quad x \in \left( -\frac{48}{5}, \, \frac{10}{29} \right]. } \]
Если нужно, могу дополнительно объяснить отдельные шаги!
