Давайте решим уравнение:
[ \sqrt{x + 13} - \sqrt{x + 1} = 2 ]
Шаг 1: Обозначим переменные для упрощения
Пусть:
[ a = \sqrt{x + 13} ]
[ b = \sqrt{x + 1} ]
Тогда уравнение принимает вид:
[ a - b = 2 ]
Шаг 2: Выразим один из корней через другой
Из этого:
[ a = b + 2 ]
Шаг 3: Введем обратные выражения и составим систему уравнений
Из определения:
[ a^2 = x + 13 ]
[ b^2 = x + 1 ]
Подставим ( a = b + 2 ) в первое уравнение:
[ (b + 2)^2 = x + 13 ]
Раскроем скобки:
[ b^2 + 4b + 4 = x + 13 ]
Но из второго уравнения:
[ b^2 = x + 1 ]
Тогда:
[ x = b^2 - 1 ]
Подставим это в предыдущую полученную формулу:
[ b^2 + 4b + 4 = (b^2 - 1) + 13 ]
Упростим правую часть:
[ b^2 + 4b + 4 = b^2 + 12 ]
Теперь вычтем ( b^2 ) из обеих частей:
[ 4b + 4 = 12 ]
Решим это уравнение:
[ 4b = 12 - 4 ]
[ 4b = 8 ]
[ b = 2 ]
Шаг 4: Находим ( x )
Помним, что:
[ b^2 = x + 1 ]
[ 2^2 = x + 1 ]
[ 4 = x + 1 ]
[ x = 3 ]
Шаг 5: Проверим полученное решение
Проведем подстановку обратно в исходное уравнение:
[
\sqrt{3 + 13} - \sqrt{3 + 1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2
]
Что совпадает с правой частью уравнения.
Ответ:
[
\boxed{x = 3}
]
