Решите уравнение

Давайте решим уравнение: \[ \sqrt{x + 13} - \sqrt{x + 1} = 2 \]

Шаг 1: Обозначим переменные для упрощения

Пусть: \[ a = \sqrt{x + 13} \] \[ b = \sqrt{x + 1} \]

Тогда уравнение принимает вид: \[ a - b = 2 \]

Шаг 2: Выразим один из корней через другой

Из этого: \[ a = b + 2 \]

Шаг 3: Введем обратные выражения и составим систему уравнений

Из определения: \[ a^2 = x + 13 \] \[ b^2 = x + 1 \]

Подставим \( a = b + 2 \) в первое уравнение: \[ (b + 2)^2 = x + 13 \]

Раскроем скобки: \[ b^2 + 4b + 4 = x + 13 \]

Но из второго уравнения: \[ b^2 = x + 1 \] Тогда: \[ x = b^2 - 1 \]

Подставим это в предыдущую полученную формулу:

\[ b^2 + 4b + 4 = (b^2 - 1) + 13 \]

Упростим правую часть: \[ b^2 + 4b + 4 = b^2 + 12 \]

Теперь вычтем \( b^2 \) из обеих частей: \[ 4b + 4 = 12 \]

Решим это уравнение: \[ 4b = 12 - 4 \] \[ 4b = 8 \] \[ b = 2 \]

Шаг 4: Находим \( x \)

Помним, что: \[ b^2 = x + 1 \] \[ 2^2 = x + 1 \] \[ 4 = x + 1 \] \[ x = 3 \]

Шаг 5: Проверим полученное решение

Проведем подстановку обратно в исходное уравнение:

\[ \sqrt{3 + 13} - \sqrt{3 + 1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \]

Что совпадает с правой частью уравнения.

Ответ:

\[ \boxed{x = 3} \]