Найдите значение выражения

Давайте подробно разберем это выражение: \[ \log_{0.5} 28 - 4 \log_{0.5} 21 + \frac{1}{2} \log_{0.5} 144 \] Нашу задачу — упростить это выражение. --- ### Шаг 1: Используем свойства логарифмов Напомню основные свойства логарифмов, которые пригодятся: 1. **Логарифм произведения:** \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\) 2. **Логарифм степени:** \(\log_a x^k = k \log_a x\) 3. **Логарифм деления:** \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\) --- ### Шаг 2: Вырезка общего множителя Обозначим: - \(A = \log_{0.5} 28\) - \(B = \log_{0.5} 21\) - \(C = \log_{0.5} 144\) Тогда выражение выглядит так: \[A - 4B + \frac{1}{2} C\] --- ### Шаг 3: Представим каждый логарифм в виде общего выражения Для этого воспользуемся свойством логарифмов: \[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \] где \(\ln\) — натуральный логарифм. Но проще — заметить, что все логарифмы имеют один и тот же основание — \(0.5\). Поэтому выражение можно переписать: \[ \frac{\ln 28}{\ln 0.5} - 4 \frac{\ln 21}{\ln 0.5} + \frac{1}{2} \frac{\ln 144}{\ln 0.5} \] Общий знаменатель — \(\ln 0.5\), который не равен нулю. Вынесем его за скобки: \[ \frac{1}{\ln 0.5} \left( \ln 28 - 4 \ln 21 + \frac{1}{2} \ln 144 \right) \] Итак, выражение упростится до: \[ \frac{1}{\ln 0.5} \times \left( \ln 28 - 4 \ln 21 + \frac{1}{2} \ln 144 \right) \] --- ### Шаг 4: Упростим выражение в скобках Запишем каждое логарифмическое выражение: \[ \ln 28, \quad 4 \ln 21, \quad \frac{1}{2} \ln 144 \] Используем свойства логарифмов для произведений и степеней. **Раскроем каждое по частям:** - \(\ln 28\) - \(4 \ln 21 = \ln 21^4\) - \(\frac{1}{2} \ln 144 = \ln 144^{1/2} = \ln \sqrt{144}\) Обратите внимание, что: \[ \sqrt{144} = 12 \] поэтому: \[ \frac{1}{2} \ln 144 = \ln 12 \] Теперь скобка выглядит так: \[ \ln 28 - \ln 21^4 + \ln 12 \] --- ### Шаг 5: Объединим логарифмы Используем свойства: \[ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \] и \[ \ln a + \ln b = \ln (ab) \] Запишем: \[ \ln 28 + \ln 12 - \ln 21^4 \] или сумма и разность логарифмов: \[ \ln (28 \times 12) - \ln 21^4 \] Посчитаем: \[ 28 \times 12 = 336 \] и \[ \ln 21^4 = 4 \ln 21 \] Общий результат: \[ \ln 336 - 4 \ln 21 \] Следовательно, исходное выражение равно: \[ \frac{1}{\ln 0.5} \times (\ln 336 - 4 \ln 21) \] --- ### Шаг 6: Объединим полученное выражение Вернемся к логарифму: \[ \ln 336 - 4 \ln 21 = \ln 336 - \ln 21^4 = \ln \frac{336}{21^4} \] Поскольку: \[ 21^4 = (21)^4 \] Проведем деление: \[ \frac{336}{21^4} \] Но упростим выражение для этого дробного числа. --- ### Шаг 7: Упростим \( \frac{336}{21^4} \) Рассчитаем \(21^4\): - \(21^1 = 21\) - \(21^2 = 441\) - \(21^3 = 441 \times 21 = 9261\) - \(21^4 = 9261 \times 21 = 194,481\) Посчитаем дробь: \[ \frac{336}{194,481} \] Это очень маленькое число, его проще оставить так, или оценить, если нужно. --- ### Шаг 8: Итоговое выражение Вернемся к исходной формуле: \[ \frac{1}{\ln 0.5} \times \ln \left( \frac{336}{21^4} \right) \] Обратим внимание, что \(\ln 0.5\) — это отрицательное число, так как \(0.5 < 1\). Знаменатель: \[ \ln 0.5 = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2 \] Теперь: \[ \frac{1}{\ln 0.5} = \frac{1}{- \ln 2} = - \frac{1}{\ln 2} \] Следовательно, выражение: \[ - \frac{1}{\ln 2} \times \ln \left( \frac{336}{21^4} \right) \] --- ### Итог: Ответ выглядит так: \[ \boxed{ - \frac{ \ln \left( \frac{336}{21^4} \right)}{\ln 2} } \] или, что то же самое, — логарифм по основанию 2: \[ - \log_2 \left( \frac{336}{21^4} \right) \] --- ### **Ответ:** **В окончательном виде:** \[ \boxed{ - \log_2 \left( \frac{336}{21^4} \right) } \] или, используя вычисления: \[ \boxed{ - \log_2 \left( \frac{336}{194,481} \right) } \] --- Если нужно более точное числовое значение — пожалуйста, скажите!