Найдите значение выражения
Давайте подробно разберем это выражение:
\[ \log_{0.5} 28 - 4 \log_{0.5} 21 + \frac{1}{2} \log_{0.5} 144 \]
Нашу задачу — упростить это выражение.
Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Напомню основные свойства логарифмов, которые пригодятся:
Логарифм произведения:
\(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)Логарифм степени:
\(\log_a x^k = k \log_a x\)Логарифм деления:
\(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\)
Шаг 2: Вырезка общего множителя
Обозначим:
- \(A = \log_{0.5} 28\)
- \(B = \log_{0.5} 21\)
- \(C = \log_{0.5} 144\)
Тогда выражение выглядит так:
\[A - 4B + \frac{1}{2} C\]
Шаг 3: Представим каждый логарифм в виде общего выражения
Для этого воспользуемся свойством логарифмов:
\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]
где \(\ln\) — натуральный логарифм.
Но проще — заметить, что все логарифмы имеют один и тот же основание — \(0.5\). Поэтому выражение можно переписать:
\[ \frac{\ln 28}{\ln 0.5} - 4 \frac{\ln 21}{\ln 0.5} + \frac{1}{2} \frac{\ln 144}{\ln 0.5} \]
Общий знаменатель — \(\ln 0.5\), который не равен нулю. Вынесем его за скобки:
\[ \frac{1}{\ln 0.5} \left( \ln 28 - 4 \ln 21 + \frac{1}{2} \ln 144 \right) \]
Итак, выражение упростится до:
\[ \frac{1}{\ln 0.5} \times \left( \ln 28 - 4 \ln 21 + \frac{1}{2} \ln 144 \right) \]
Шаг 4: Упростим выражение в скобках
Запишем каждое логарифмическое выражение:
\[ \ln 28, \quad 4 \ln 21, \quad \frac{1}{2} \ln 144 \]
Используем свойства логарифмов для произведений и степеней.
Раскроем каждое по частям:
- \(\ln 28\)
- \(4 \ln 21 = \ln 21^4\)
- \(\frac{1}{2} \ln 144 = \ln 144^{1/2} = \ln \sqrt{144}\)
Обратите внимание, что:
\[ \sqrt{144} = 12 \]
поэтому:
\[ \frac{1}{2} \ln 144 = \ln 12 \]
Теперь скобка выглядит так:
\[ \ln 28 - \ln 21^4 + \ln 12 \]
Шаг 5: Объединим логарифмы
Используем свойства:
\[ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} \] и \[ \ln a + \ln b = \ln (ab) \]
Запишем:
\[ \ln 28 + \ln 12 - \ln 21^4 \]
или сумма и разность логарифмов:
\[ \ln (28 \times 12) - \ln 21^4 \]
Посчитаем:
\[ 28 \times 12 = 336 \] и \[ \ln 21^4 = 4 \ln 21 \]
Общий результат:
\[ \ln 336 - 4 \ln 21 \]
Следовательно, исходное выражение равно:
\[ \frac{1}{\ln 0.5} \times (\ln 336 - 4 \ln 21) \]
Шаг 6: Объединим полученное выражение
Вернемся к логарифму:
\[ \ln 336 - 4 \ln 21 = \ln 336 - \ln 21^4 = \ln \frac{336}{21^4} \]
Поскольку:
\[ 21^4 = (21)^4 \]
Проведем деление:
\[ \frac{336}{21^4} \]
Но упростим выражение для этого дробного числа.
Шаг 7: Упростим \( \frac{336}{21^4} \)
Рассчитаем \(21^4\):
- \(21^1 = 21\)
- \(21^2 = 441\)
- \(21^3 = 441 \times 21 = 9261\)
- \(21^4 = 9261 \times 21 = 194,481\)
Посчитаем дробь:
\[ \frac{336}{194,481} \]
Это очень маленькое число, его проще оставить так, или оценить, если нужно.
Шаг 8: Итоговое выражение
Вернемся к исходной формуле:
\[ \frac{1}{\ln 0.5} \times \ln \left( \frac{336}{21^4} \right) \]
Обратим внимание, что \(\ln 0.5\) — это отрицательное число, так как \(0.5 < 1\).
Знаменатель:
\[ \ln 0.5 = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2 \]
Теперь:
\[ \frac{1}{\ln 0.5} = \frac{1}{- \ln 2} = - \frac{1}{\ln 2} \]
Следовательно, выражение:
\[ - \frac{1}{\ln 2} \times \ln \left( \frac{336}{21^4} \right) \]
Итог:
Ответ выглядит так:
\[ \boxed{ - \frac{ \ln \left( \frac{336}{21^4} \right)}{\ln 2} } \]
или, что то же самое, — логарифм по основанию 2:
\[ - \log_2 \left( \frac{336}{21^4} \right) \]
Ответ:
В окончательном виде:
\[ \boxed{ - \log_2 \left( \frac{336}{21^4} \right) } \]
или, используя вычисления:
\[ \boxed{ - \log_2 \left( \frac{336}{194,481} \right) } \]
Если нужно более точное числовое значение — пожалуйста, скажите!
