X ^ 2 + y ^ 2 = 5 ,\\ 6x+5y=-4;

Давайте решим систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \quad (1) \\ 6x + 5y = -4 \quad (2) \end{cases} \] **Цель:** Понять решение и подробно объяснить каждый шаг. --- ### Шаг 1: выразим \( y \) из второго уравнения Из уравнения (2): \[ 6x + 5y = -4 \quad \Rightarrow \quad 5y = -4 - 6x \] \[ \Rightarrow y = \frac{-4 - 6x}{5} \] --- ### Шаг 2: подставим выражение для \( y \) в первое уравнение Подставляем \( y = \frac{-4 - 6x}{5} \) в уравнение (1): \[ x^2 + y^2 = 5 \] \[ x^2 + \left( \frac{-4 - 6x}{5} \right)^2 = 5 \] Возведем дробь в квадрат: \[ x^2 + \frac{(-4 - 6x)^2}{25} = 5 \] --- ### Шаг 3: раскроем скобки в числителе \[ (-4 - 6x)^2 = (-4)^2 + 2 \cdot (-4) \cdot (-6x) + (-6x)^2 = 16 + 48x + 36x^2 \] Подставим обратно: \[ x^2 + \frac{16 + 48x + 36x^2}{25} = 5 \] --- ### Шаг 4: приведем уравнение к общей дроби Обозначим, чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 25: \[ 25x^2 + 16 + 48x + 36x^2 = 125 \] Сложим подобные члены: \[ (25x^2 + 36x^2) + 48x + 16 = 125 \] \[ 61x^2 + 48x + 16 = 125 \] Перенесем 125 в левую часть: \[ 61x^2 + 48x + 16 - 125 = 0 \] \[ 61x^2 + 48x - 109 = 0 \] --- ### Шаг 5: найдем корни уравнения по формуле квадратичной формулы Квадратичное уравнение: \[ 61x^2 + 48x - 109 = 0 \] Общий вид: \( ax^2 + bx + c = 0 \), где: - \( a = 61 \), - \( b = 48 \), - \( c = -109 \). Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 \cdot 61 \cdot (-109) \] \[ D = 2304 + 4 \cdot 61 \cdot 109 \] Вычислим \( 4 \cdot 61 \cdot 109 \): - \( 61 \cdot 109 \) Рассчитаем: \[ 61 \times 109 = (60 + 1) \times 109 = 60 \times 109 + 1 \times 109 = 6540 + 109 = 6649 \] Теперь: \[ 4 \times 6649 = 4 \times 6649 = 26,596 \] Получаем: \[ D = 2304 + 26,596 = 28,900 \] --- ### Шаг 6: найдём корни \( x \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 \pm \sqrt{28,900}}{2 \times 61} \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{28,900} = 170 \] Следовательно: \[ x = \frac{-48 \pm 170}{122} \] Два варианта: 1. \( x = \frac{-48 + 170}{122} = \frac{122}{122} = 1 \) 2. \( x = \frac{-48 - 170}{122} = \frac{-218}{122} \) Упростим второй: \[ x = \frac{-218}{122} = \frac{-109}{61} \] --- ### Шаг 7: найдём соответствующие \( y \) Теперь возвращаемся к формуле для \( y \): \[ y = \frac{-4 - 6x}{5} \] **Для \( x = 1 \):** \[ y = \frac{-4 - 6 \times 1}{5} = \frac{-4 - 6}{5} = \frac{-10}{5} = -2 \] **Для \( x = -\frac{109}{61} \):** \[ y = \frac{-4 - 6 \times \left( -\frac{109}{61} \right)}{5} \] Вычислим числитель: \[ -4 + \frac{6 \times 109}{61} = -4 + \frac{654}{61} \] Общий знаменатель для -4: \[ -4 = \frac{-4 \times 61}{61} = \frac{-244}{61} \] Тогда числитель: \[ \frac{-244}{61} + \frac{654}{61} = \frac{-244 + 654}{61} = \frac{410}{61} \] Делим на 5: \[ y = \frac{\frac{410}{61}}{5} = \frac{410}{61} \times \frac{1}{5} = \frac{410}{61 \times 5} = \frac{410}{305} \] Упростим дробь: \[ \frac{410}{305} \div \text{общий делитель 5} = \frac{82}{61} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \begin{cases} x = 1, \quad y = -2 \\ x = -\dfrac{109}{61}, \quad y = \dfrac{82}{61} \end{cases} } \] Это оба решения системы уравнений. Если нужно, я могу помочь дополнительно с объяснениями или проверкой.