x ^ 2 + y ^ 2 = 5 ,\\ 6x+5y=-4;
Давайте решим систему уравнений:
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \quad (1) \\ 6x + 5y = -4 \quad (2) \end{cases} \]
Цель: Понять решение и подробно объяснить каждый шаг.
Шаг 1: выразим \( y \) из второго уравнения
Из уравнения (2):
\[ 6x + 5y = -4 \quad \Rightarrow \quad 5y = -4 - 6x \] \[ \Rightarrow y = \frac{-4 - 6x}{5} \]
Шаг 2: подставим выражение для \( y \) в первое уравнение
Подставляем \( y = \frac{-4 - 6x}{5} \) в уравнение (1):
\[ x^2 + y^2 = 5 \] \[ x^2 + \left( \frac{-4 - 6x}{5} \right)^2 = 5 \]
Возведем дробь в квадрат:
\[ x^2 + \frac{(-4 - 6x)^2}{25} = 5 \]
Шаг 3: раскроем скобки в числителе
\[ (-4 - 6x)^2 = (-4)^2 + 2 \cdot (-4) \cdot (-6x) + (-6x)^2 = 16 + 48x + 36x^2 \]
Подставим обратно:
\[ x^2 + \frac{16 + 48x + 36x^2}{25} = 5 \]
Шаг 4: приведем уравнение к общей дроби
Обозначим, чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 25:
\[ 25x^2 + 16 + 48x + 36x^2 = 125 \]
Сложим подобные члены:
\[ (25x^2 + 36x^2) + 48x + 16 = 125 \]
\[ 61x^2 + 48x + 16 = 125 \]
Перенесем 125 в левую часть:
\[ 61x^2 + 48x + 16 - 125 = 0 \] \[ 61x^2 + 48x - 109 = 0 \]
Шаг 5: найдем корни уравнения по формуле квадратичной формулы
Квадратичное уравнение:
\[ 61x^2 + 48x - 109 = 0 \]
Общий вид: \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:
- \( a = 61 \),
- \( b = 48 \),
- \( c = -109 \).
Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4 \cdot 61 \cdot (-109) \] \[ D = 2304 + 4 \cdot 61 \cdot 109 \]
Вычислим \( 4 \cdot 61 \cdot 109 \):
- \( 61 \cdot 109 \)
Рассчитаем:
\[ 61 \times 109 = (60 + 1) \times 109 = 60 \times 109 + 1 \times 109 = 6540 + 109 = 6649 \]
Теперь:
\[ 4 \times 6649 = 4 \times 6649 = 26,596 \]
Получаем:
\[ D = 2304 + 26,596 = 28,900 \]
Шаг 6: найдём корни \( x \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-48 \pm \sqrt{28,900}}{2 \times 61} \]
Корень дискриминанта:
\[ \sqrt{28,900} = 170 \]
Следовательно:
\[ x = \frac{-48 \pm 170}{122} \]
Два варианта:
- \( x = \frac{-48 + 170}{122} = \frac{122}{122} = 1 \)
- \( x = \frac{-48 - 170}{122} = \frac{-218}{122} \)
Упростим второй:
\[ x = \frac{-218}{122} = \frac{-109}{61} \]
Шаг 7: найдём соответствующие \( y \)
Теперь возвращаемся к формуле для \( y \):
\[ y = \frac{-4 - 6x}{5} \]
Для \( x = 1 \):
\[ y = \frac{-4 - 6 \times 1}{5} = \frac{-4 - 6}{5} = \frac{-10}{5} = -2 \]
Для \( x = -\frac{109}{61} \):
\[ y = \frac{-4 - 6 \times \left( -\frac{109}{61} \right)}{5} \]
Вычислим числитель:
\[ -4 + \frac{6 \times 109}{61} = -4 + \frac{654}{61} \]
Общий знаменатель для -4:
\[ -4 = \frac{-4 \times 61}{61} = \frac{-244}{61} \]
Тогда числитель:
\[ \frac{-244}{61} + \frac{654}{61} = \frac{-244 + 654}{61} = \frac{410}{61} \]
Делим на 5:
\[ y = \frac{\frac{410}{61}}{5} = \frac{410}{61} \times \frac{1}{5} = \frac{410}{61 \times 5} = \frac{410}{305} \]
Упростим дробь:
\[ \frac{410}{305} \div \text{общий делитель 5} = \frac{82}{61} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \begin{cases} x = 1, \quad y = -2 \\ x = -\dfrac{109}{61}, \quad y = \dfrac{82}{61} \end{cases} } \]
Это оба решения системы уравнений.
Если нужно, я могу помочь дополнительно с объяснениями или проверкой.
