Для приведенных ниже высказываний попытайтесь указать, какие из них истин ны и какие ложны: а) Натуральных чисел бесконечно много. 6) Если диагональ выпуклого четырехугольника…

Рассмотрим каждое высказывание по отдельности, определим, является ли оно истинным или ложным, и объясним почему.

а) Натуральных чисел бесконечно много.

• Тип высказывания: Истина.
• Обоснование: В множестве натуральных чисел бесконечно много элементов, так как можно всегда прибавить 1 к большему числу, не достигнув конца.
• Вывод: Истина.

б) Если диагональ выпуклого четырехугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырехугольник параллелограмм.

• Тип высказывания: Ложь.
• Обоснование: Разделение диагональю выпуклого четырехугольника, которое делит его на два равных по площади треугольника, не обязательно означает, что это параллелограмм. Например, произвольный трапеция, у которой диагонали равны и разбивают ее на два равных по площади треугольника, не является параллелограммом.
• Вывод: Ложь.

в) Серединный перпендикуляр к отрезку — это множество точек, равноудаленных от концов данного отрезка.

• Тип высказывания: Истина.
• Обоснование: Серединный перпендикуляр — это линия, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Множество точек на этой линии равноудалены от концов, так как расстояние до каждого конца от средней точки одинаково, а от других точек — нет.
• Вывод: Истина.

г) В десятичной записи числа встречается 100 раз подряд цифра 9.

• Тип высказывания: Могут быть истинным или ложным, зависит от конкретного числа.
• Обоснование: Теоретически, существуют числа, в которых подряд встречается 100 девяток, например, число 0.999999… (с бесконечным числом девяток). Но если имелось в виду конкретное число, в которое встречается именно ровно 100 девяток подряд, например, число 0.000…000999…999 с 100 девятками подряд, то да — такое число существует.
• Вывод: В общем случае — истина (существуют такие числа), если речь о существовании некоторого числа.

д) В записи числа в виде бесконечной десятичной дроби не встречается цифра 9 — это 1/7

• Обоснование: Передача 1/7 в десятичной форме — периодическая дробь: 0.(142857). В ней цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7 повторяются циклически. Там цифра 9 не встречается.
• Ответ: Истина.

е) Каждое натуральное число либо простое, либо произведение простых чисел.

• Обоснование: Безусловно, каждое натуральное число — либо простое, либо составное, то есть его можно представить как произведение простых чисел (по теореме о разложении числа).
• Вывод: Истина.

ж) Для всех действительных чисел х выполняется неравенство 1/(1 + x^2) < 1.

• Обоснование: Рассмотрим 1/(1 + x^2).
  • Для любого x, x^2 ≥ 0, значит 1 + x^2 ≥ 1.
  • Следовательно, 1/(1 + x^2) ≤ 1, причём для x ≠ 0, 1/(1 + x^2) < 1.
  • Но для x=0: 1/(1+0) = 1, и равенство не выполняется.
• Вывод: Ложь, потому что при x=0 неравенство 1/(1 + 0^2) < 1 не истинно, а равно.

и) Для всех действительных х выполняется неравенство 1/(1 + x) ≤ 1.

• Обоснование:
  • Для x > -1: 1 + x > 0, и 1/(1 + x) ≤ 1, если 1/(1 + x) ≤ 1.
  • Тогда 1 ≤ 1 + x → x ≥ 0.
  • Для x ≥ 0: 1/(1 + x) ≤ 1, так как 1 + x ≥ 1.
  • Для x < 0: 1 + x < 1, и 1/(1 + x) > 1 (например, при x = -0.5: 1/(0.5) = 2).
• Вывод: Ложь, потому что, например, при x = -0.5 не выполняется неравенство.

к) Для числа, у которого сумма цифр равна 2, оно не делится на 7.

• Обоснование:
  • Не все числа с суммой цифр 2 исключают делимость на 7.
  • Например, число 14: сумма цифр 1+4=5, не подходит.
  • Число 11: сумма 1+1=2, и не делится на 7, — подходит.
  • Но число 14: сумма 1+4=5, не подходит.
  • В общем, нужно проверять по отдельности.
  • Есть примеры: 28 — сумма 2+8=10, не подходит, а 14 подходит и делится на 7.
  • В частности, число 14 с суммой 1+4=5 — не делится на 7. Но число 28 (2+8=10), не подходит.
  • А вот число 11 — сумма 2, не делится на 7 — подходит.
• Вывод: Это утверждение — ложное, так как есть числа с суммой цифр 2, которые делят на 7 (например, число 14 не подходит, так как сумма 5).

Итог:

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее разобрать какое-то из высказываний, скажите!