Конечно! Ниже приведены пошаговые решения для каждой функции по теме "производные и её применение".
Задача 1. Вычислите производные функций:
а) (f(x) = x^5 - 2\sqrt{x})
Шаг 1: Разделим функцию на две части:
[ f(x) = x^5 - 2x^{1/2} ]
Шаг 2: Используем правила дифференцирования:
- Производная суммы равна сумме производных.
- Производная (x^n) равна (n x^{n-1}).
Шаг 3: Вычислим производную каждого члена:
- (\frac{d}{dx} x^5 = 5x^{4})
- (\frac{d}{dx} (-2x^{1/2}) = -2 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = - x^{-1/2} = - \frac{1}{\sqrt{x}})
Ответ:
[
f'(x) = 5x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}
]
в) (f(x) = e^{x} \cdot \sin x)
Шаг 1: Здесь применяется правило произведения:
[
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
]
где (f(x) = e^x), (g(x) = \sin x).
Шаг 2: Находим производные:
- (f'(x) = e^x)
- (g'(x) = \cos x)
Шаг 3: Применяем правило:
[
f'(x) = e^{x} \cdot \sin x + e^{x} \cdot \cos x
]
Ответ:
[
f'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x)
]
с) (f(x) = (3 - 2x)^4)
Шаг 1: Используем цепное правило.
Обозначим (u = 3 - 2x), тогда (f(x) = u^{4}).
Шаг 2: Находим производную по (u):
(\frac{d}{du} u^{4} = 4u^{3})
Шаг 3: Находим (\frac{du}{dx}):
[
\frac{d}{dx} (3 - 2x) = -2
]
Шаг 4: Общее выражение по цепному правилу:
[
f'(x) = 4 (3 - 2x)^{3} \times (-2) = -8 (3 - 2x)^{3}
]
Ответ:
[
f'(x) = -8 (3 - 2x)^{3}
]
Если нужно более подробное объяснение или помощь с другими заданиями, обращайтесь!
