Контрольная работа номер 12 по теме "производные и её применение" вариант 2. 1. Вычислите производные функций: а) f(х)=х⁵-2√х в) f(х)=еХ • sinx с) f(х)=(3-2х) ⁴
Конечно! Ниже приведены пошаговые решения для каждой функции по теме "производные и её применение".
Задача 1. Вычислите производные функций:
а) \(f(x) = x^5 - 2\sqrt{x}\)
Шаг 1: Разделим функцию на две части:
\[ f(x) = x^5 - 2x^{1/2} \]
Шаг 2: Используем правила дифференцирования:
- Производная суммы равна сумме производных.
- Производная \(x^n\) равна \(n x^{n-1}\).
Шаг 3: Вычислим производную каждого члена:
- \(\frac{d}{dx} x^5 = 5x^{4}\)
- \(\frac{d}{dx} (-2x^{1/2}) = -2 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = - x^{-1/2} = - \frac{1}{\sqrt{x}}\)
Ответ:
\[
f'(x) = 5x^{4} - \frac{1}{\sqrt{x}}
\]
в) \(f(x) = e^{x} \cdot \sin x\)
Шаг 1: Здесь применяется правило произведения:
\[
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
\]
где \(f(x) = e^x\), \(g(x) = \sin x\).
Шаг 2: Находим производные:
- \(f'(x) = e^x\)
- \(g'(x) = \cos x\)
Шаг 3: Применяем правило:
\[
f'(x) = e^{x} \cdot \sin x + e^{x} \cdot \cos x
\]
Ответ:
\[
f'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x)
\]
с) \(f(x) = (3 - 2x)^4\)
Шаг 1: Используем цепное правило.
Обозначим \(u = 3 - 2x\), тогда \(f(x) = u^{4}\).
Шаг 2: Находим производную по \(u\):
\(\frac{d}{du} u^{4} = 4u^{3}\)
Шаг 3: Находим \(\frac{du}{dx}\):
\[
\frac{d}{dx} (3 - 2x) = -2
\]
Шаг 4: Общее выражение по цепному правилу:
\[
f'(x) = 4 (3 - 2x)^{3} \times (-2) = -8 (3 - 2x)^{3}
\]
Ответ:
\[
f'(x) = -8 (3 - 2x)^{3}
\]
Если нужно более подробное объяснение или помощь с другими заданиями, обращайтесь!
