Решите уравнение через ОДЗ

Давайте разберем задачу по шагам. В условии даны логарифмические выражения, и нужно решить уравнение через область допустимых значений (ОДЗ).

Задача:
Решите уравнение: \[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) = 3 \]

---

Шаг 1: Запоним условие логарифмов

Логарифмы существуют только при положительных аргументах, то есть:

• \( x^2 + x - 6 > 0 \)
• \( x + 3 > 0 \)

Шаг 2: Решим неравенства, определяющие ОДЗ

Первое неравенство: \( x^2 + x - 6 > 0 \)

Рассмотрим уравнение:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Найдем корни:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Получаем корни:
\[ x = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \quad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \]

Поскольку это квадратичная функция с положительным коэффициентом перед \( x^2 \), она больше нуля вне интервалов между корнями, т.е.:

\[ x^2 + x - 6 > 0 \quad \text{при} \quad x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2 \]

Второе неравенство: \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \)

---

Шаг 3: Объединение условий

Область допустимых значений (ОДЗ) — пересечение двух условий:

1. \( x < -3 \) или \( x > 2 \) (для первого логарифма)
2. \( x > -3 \) (для второго логарифма)

Пересечение:

• Для \( x < -3 \): противоречит \( x > -3 \), потому что они не совместимы.
• Для \( x > 2 \): подходит

Итого:

\[ \boxed{ \text{ОДЗ: } x > 2 } \]

---

Шаг 4: Решение уравнения

Запишем исходное уравнение:

\[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) = 3 \]

Используем свойство логарифмов:
\[ \lg A - \lg B = \lg \left(\frac{A}{B}\right) \]

Таким образом:

\[ \lg \left( \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} \right) = 3 \]

Обратимся к определению логарифма:
\[ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 10^3 = 1000 \]

---

Шаг 5: Упростим дробь

Рассмотрим числитель и знаменатель подробнее:

\[ x^2 + x - 6 \]

Разложим на множители:
\[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \]

Подставим в уравнение:

\[ \frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 3} = 1000 \]

При условии \( x + 3 \neq 0 \), то есть \( x \neq -3 \). В нашем случае \( x > 2 \), поэтому \( x + 3 > 0 \), и деление безопасно.

Тогда:

\[ x - 2 = 1000 \]

Решим:

\[ x = 1002 \]

---

Шаг 6: Проверка решения на ОДЗ и подстановку

• Проверка на ОДЗ: \( x = 1002 > 2 \), следовательно, входит в область допустимых значений.
• Подставим обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что логарифмы определены:

\[ x^2 + x - 6 = (1002)^2 + 1002 - 6 \]

Расчеты:
\[ (1002)^2 = 1\,004\,004 \] \[ 1\,004\,004 + 1002 = 1\,005\,006 \] \[ 1\,005\,006 - 6 = 1\,005\,000 \]

Область:
\[ \lg(1\,005\,000) - \lg(1002 + 3) = 3 \] \[ \lg(1\,005\,000) - \lg(1005) = 3 \] Расчеты:

\[ \lg(1\,005\,000) \approx \lg(1.005 \times 10^6) = \lg(1.005) + 6 \approx 0.00217 + 6 = 6.00217 \]

\[ \lg(1005) \approx \lg(1.005 \times 10^3) = \lg(1.005) + 3 \approx 0.00217 + 3 = 3.00217 \]

Разница:

\[ 6.00217 - 3.00217 = 3 \]

Что совпадает с правой частью уравнения, так что решение подтверждено.

---

Ответ:

\[ \boxed{ x = 1002 } \]

это единственное решение в области допустимых значений.