Решите уравнение через ОДЗ

Давайте разберем задачу по шагам. В условии даны логарифмические выражения, и нужно решить уравнение через область допустимых значений (ОДЗ). **Задача:** Решите уравнение: \[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) = 3 \] --- ### Шаг 1: Запоним условие логарифмов Логарифмы существуют только при положительных аргументах, то есть: - \( x^2 + x - 6 > 0 \) - \( x + 3 > 0 \) ### Шаг 2: Решим неравенства, определяющие ОДЗ **Первое неравенство:** \( x^2 + x - 6 > 0 \) Рассмотрим уравнение: \[ x^2 + x - 6 = 0 \] Найдем корни: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] Получаем корни: \[ x = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \quad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \] Поскольку это квадратичная функция с положительным коэффициентом перед \( x^2 \), она больше нуля вне интервалов между корнями, т.е.: \[ x^2 + x - 6 > 0 \quad \text{при} \quad x < -3 \quad \text{или} \quad x > 2 \] **Второе неравенство:** \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \) --- ### Шаг 3: Объединение условий Область допустимых значений (ОДЗ) — пересечение двух условий: 1. \( x < -3 \) или \( x > 2 \) (для первого логарифма) 2. \( x > -3 \) (для второго логарифма) Пересечение: - Для \( x < -3 \): противоречит \( x > -3 \), потому что они не совместимы. - Для \( x > 2 \): подходит **Итого:** \[ \boxed{ \text{ОДЗ: } x > 2 } \] --- ### Шаг 4: Решение уравнения Запишем исходное уравнение: \[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) = 3 \] Используем свойство логарифмов: \[ \lg A - \lg B = \lg \left(\frac{A}{B}\right) \] Таким образом: \[ \lg \left( \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} \right) = 3 \] Обратимся к определению логарифма: \[ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 10^3 = 1000 \] --- ### Шаг 5: Упростим дробь Рассмотрим числитель и знаменатель подробнее: \[ x^2 + x - 6 \] Разложим на множители: \[ x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) \] Подставим в уравнение: \[ \frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 3} = 1000 \] При условии \( x + 3 \neq 0 \), то есть \( x \neq -3 \). В нашем случае \( x > 2 \), поэтому \( x + 3 > 0 \), и деление безопасно. Тогда: \[ x - 2 = 1000 \] Решим: \[ x = 1002 \] --- ### Шаг 6: Проверка решения на ОДЗ и подстановку - Проверка на ОДЗ: \( x = 1002 > 2 \), следовательно, входит в область допустимых значений. - Подставим обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что логарифмы определены: \[ x^2 + x - 6 = (1002)^2 + 1002 - 6 \] Расчеты: \[ (1002)^2 = 1\,004\,004 \] \[ 1\,004\,004 + 1002 = 1\,005\,006 \] \[ 1\,005\,006 - 6 = 1\,005\,000 \] Область: \[ \lg(1\,005\,000) - \lg(1002 + 3) = 3 \] \[ \lg(1\,005\,000) - \lg(1005) = 3 \] Расчеты: \[ \lg(1\,005\,000) \approx \lg(1.005 \times 10^6) = \lg(1.005) + 6 \approx 0.00217 + 6 = 6.00217 \] \[ \lg(1005) \approx \lg(1.005 \times 10^3) = \lg(1.005) + 3 \approx 0.00217 + 3 = 3.00217 \] Разница: \[ 6.00217 - 3.00217 = 3 \] Что совпадает с правой частью уравнения, так что решение подтверждено. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = 1002 } \] это единственное решение в области допустимых значений.