Найти S фигуры ограниченной y=x^2-4x, y=-4, x=0
Давайте разберём задачу поэтапно.
Задача: Найти площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = x^2 - 4x \), линией \( y = -4 \) и линией \( x = 0 \).
Шаг 1. Нахождение точек пересечения
- Пересечение \( y = x^2 - 4x \) и \( y = -4 \):
\[ x^2 - 4x = -4 \] \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \] \[ x = 2 \]
- Пересечение \( x = 0 \) и \( y = x^2 - 4x \):
\[ x = 0 \Rightarrow y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0 \]
Пересечения с \( y = -4 \):
\[ x^2 - 4x = -4 \] (уже решено, что есть корень при \( x=2 \), и при \( x=0 \) — неравенство не пересекается с графиком, поскольку \( y=0 \) при \( x=0 \), а \( y = -4 \) — ниже).
Теперь, у нас есть три важные точки:
- \( (0,0) \),
- \( (2, -4) \).
Шаг 2. Область интегрирования
Область ограничена:
- слева: линия \( x=0 \).
- сверху: кривая \( y = x^2 - 4x \).
- снизу: линия \( y = -4 \).
- справа: точка \( x=2 \).
Шаг 3. Запись площади
Площадь \( S \) — это определённый интеграл по \( x \) от \( x=0 \) до \( x=2 \):
\[ S = \int_{0}^{2} \left[ (x^2 - 4x) - (-4) \right] dx \]
Поскольку верхняя граница — кривая \( y = x^2 - 4x \), а нижняя — линия \( y=-4 \).
Раскроем скобки:
\[ S = \int_{0}^{2} [x^2 - 4x + 4] dx \]
Шаг 4. Вычисление интеграла
\[ S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx \]
Интегрируем по частям:
\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] \[ \int -4x dx = -2x^2 \] \[ \int 4 dx = 4x \]
Итог:
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_0^2 \]
Подставим границы:
При \( x=2 \):
\[ \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 8 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3} \]
При \( x=0 \):
\[ 0 - 0 + 0= 0 \]
Итак,
\[ S = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ S = \frac{8}{3} } \]
Площадь фигуры равна \( \displaystyle \frac{8}{3} \) квадратных единиц.
