Найти S фигуры ограниченной y=x^2-4x, y=-4, x=0

Давайте разберём задачу поэтапно. **Задача:** Найти площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = x^2 - 4x \), линией \( y = -4 \) и линией \( x = 0 \). --- ### Шаг 1. Нахождение точек пересечения 1. Пересечение \( y = x^2 - 4x \) и \( y = -4 \): \[ x^2 - 4x = -4 \] \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \] \[ x = 2 \] 2. Пересечение \( x = 0 \) и \( y = x^2 - 4x \): \[ x = 0 \Rightarrow y = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0 \] Пересечения с \( y = -4 \): \[ x^2 - 4x = -4 \] (уже решено, что есть корень при \( x=2 \), и при \( x=0 \) — неравенство не пересекается с графиком, поскольку \( y=0 \) при \( x=0 \), а \( y = -4 \) — ниже). Теперь, у нас есть три важные точки: - \( (0,0) \), - \( (2, -4) \). --- ### Шаг 2. Область интегрирования Область ограничена: - слева: линия \( x=0 \). - сверху: кривая \( y = x^2 - 4x \). - снизу: линия \( y = -4 \). - справа: точка \( x=2 \). --- ### Шаг 3. Запись площади Площадь \( S \) — это определённый интеграл по \( x \) от \( x=0 \) до \( x=2 \): \[ S = \int_{0}^{2} \left[ (x^2 - 4x) - (-4) \right] dx \] Поскольку верхняя граница — кривая \( y = x^2 - 4x \), а нижняя — линия \( y=-4 \). Раскроем скобки: \[ S = \int_{0}^{2} [x^2 - 4x + 4] dx \] --- ### Шаг 4. Вычисление интеграла \[ S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx \] Интегрируем по частям: \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] \[ \int -4x dx = -2x^2 \] \[ \int 4 dx = 4x \] Итог: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_0^2 \] Подставим границы: При \( x=2 \): \[ \frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 8 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3} \] При \( x=0 \): \[ 0 - 0 + 0= 0 \] Итак, \[ S = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ S = \frac{8}{3} } \] Площадь фигуры равна \( \displaystyle \frac{8}{3} \) квадратных единиц.