Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже…

Дано условие:

• В доме есть несколько подъездов, этажей и квартир на этаже.
• Все подъезды одинаковые, этажи одинаковые, и на всех этажах одинаковое число квартир.
• Число этажей больше числа квартир на этаже, больше числа подъездов, и подъездов больше одного.
• В общем, все эти числа связаны условием:

Обозначим:

• \( E \) — число этажей в доме,
• \( K \) — число квартир на этаже,
• \( P \) — число подъездов в доме.

Из условий:
\[ E > K > P > 1 \]

Общее число квартир в доме:
\[ \text{Общая} = P \times E \times K = 455 \]

Нужно найти число этажей \( E \).

Пошаговый анализ:

1. Разложим число 455 на простые множители:
   455 делится на 5:
   \[ 455 = 5 \times 91 \]

   Далее, разложим 91:
   \[ 91 = 7 \times 13 \]

   Итого:
   \[ 455 = 5 \times 7 \times 13 \]

2. Поскольку \( P, K, E \) — натуральные числа, и \( P < K < E \), а их произведение равно 455, нужно найти такие множители из разложения 455, чтобы соблюсти эти условия.

3. Переберем возможные варианты:

   • Попытка 1:
     Пусть \( P = 5 \), возможные значения для \( K \) и \( E \).
     Тогда:
     \[ E \times K = \frac{455}{5} = 91 \] Теперь нужно разложить 91 и распределить его между \( E \) и \( K \), при условии: \( E > K > P=5 \).

     Разложим 91:
     \[ 91 = 7 \times 13 \] Возможные комбинации для \( K \) и \( E \):

     • \( K = 7 \), \( E = 13 \) — но здесь \( K=7 \), что не больше 5 (от условия \( K > P=5 \)), подходит.
       Проверим: \( P=5 \), \( K=7 \), \( E=13 \).
       Условия: \( 13 > 7 > 5 \) — верно.
       Количество квартир:
       \[ P \times E \times K = 5 \times 13 \times 7 = 5 \times 91 = 455 \] всё совпадает.

     Также условия по очереди:

     • \( E = 13 \)
     • \( K = 7 \)
     • \( P = 5 \)

     Условия выполнены: \( 13 > 7 > 5 \).

     Значит, число этажей — \( E = 13 \).

4. Проверка других вариантов:

   • Попытка 2:
     Взять \( P=7 \), тогда:
     \[ E \times K = \frac{455}{7} = 65 \] Разложим 65:
     \[ 65 = 5 \times 13 \]

     Тогда возможные \( (K, E) \):

     • \( K=5 \), \( E=13 \) — условие \( E > K \) верно,
       но нужно убедиться, что \( K > P=7 \).
       \( K=5 \), а \( P=7 \), не выполняется \( K > P \). — неправильно.

     — Таким образом, вариант этот не подходит.

   • Попытка 3:
     \( P=13 \), тогда \( E \times K = 35 \), что не делится так, чтобы \( K>E \) и \( K>P \). Нет смысла продолжать далее, так как первое подходящее решение уже найдено.

Итак, единственно подходящее решение:

• \( P=5 \),
• \( K=7 \),
• \( E=13 \).

Ответ: 13.