В колонию из 14 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Через…
В колонию из 14 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Через сколько секунд останутся только белые бактерии?
Давайте пошагово разберемся с задачей.
Итак, исходные данные:
- Изначально черных бактерий: 14
- Белых бактерий: 1 (попала в колонию)
- Каждую секунду происходит два действия:
- Каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию.
- Все бактерии делятся надвое (удваиваются).
Цель: определить, через сколько секунд останутся только белые бактерии.
Анализ процесса:
На каждом шаге (секунде):
- Белые бактерии уничтожают некоторое количество черных бактерий:
- Количество уничтоженных черных бактерий равно количеству белых бактерий.
- После этого делятся все бактерии (черные и белые), каждая пополам.
Рассмотрим итерации по времени:
Шаг 1 (начало):
- Черных бактерий: 14
- Белых бактерий: 1
Итерация 1:
- Белая бактерия уничтожает 1 черную:
- Черных остается: 14 - 1 = 13
- Деление бактерий:
- Черных: 13 × 2 = 26
- Белых: 1 × 2 = 2
Итерация 2:
- Белые: 2, уничтожают 2 черных!
- Черных: 26 - 2 = 24, после уничтожения
- Деление:
- Черных: 24 × 2 = 48
- Белых: 2 × 2 = 4
Итерация 3:
- Белые: 4, уничтожают 4 черных
- Черных: 48 - 4 = 44, после уничтожения
- Деление:
- Черных: 44 × 2 = 88
- Белых: 4 × 2 = 8
Итерация 4:
- Белые: 8, уничтожают 8 черных
- Черных: 88 - 8 = 80
- Деление:
- Черных: 80 × 2 = 160
- Белых: 8 × 2 = 16
Общий процесс приглядов:
На каждом шаге количество черных бактерий уменьшается за счет уничтожения белыми, но только до тех пор, пока белых бактерий достаточно, чтобы уничтожить все черных.
Важный момент:
Когда количество уничтожаемых черных бактерий равно их количеству, черных продолжает сокращаться. Однако, обратите внимание:
- На каждом шаге количество черных бактерий уменьшается на число белых бактерий в этот момент.
- После уничтожения черных, деление увеличивает их число, и процесс продолжается.
Стратегия решения:
В задаче важно понять, через сколько секунд все черные бактерии исчезнут — то есть, количество черных станет равным нулю или отрицательным (что невозможно — значит все уничтожены).
Для этого можно представить процессы уравнением:
- Четко увидим, что количество черных бактерий исчезает, когда сумма уничтоженных черных бактерий равна исходному количеству (14).
Каждую секунду:
- Уничтожено черных: равное количеству белых на тот момент.
- Оно увеличивается с делением бактерий.
Чтобы упростить, сделаем последовательный расчет.
Рассмотрение пошагово:
| Время (секунды) | Белых | Черных | Уничтожено черных | Остаток черных |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 14 | 0 | 14 |
| 1 | 2 | 13 | 1 (белая уничтожила 1 черную) | 13 |
| 2 | 4 | 26 | 2 (белых уничтожили 2 черных) | 13 - 2 = 11 → После деления 22 |
| 3 | 8 | 44 | 4 | после деления черных 44 × 2 = 88; белых 8 × 2 = 16 |
| 4 | 16 | 88 | 8 | черных после уничтожения: 88 -8=80, после деления: 80 × 2=160 |
Обратим внимание: в действительности, если посмотреть внимательно, число черных до и после деления начинает расти очень быстро, а уничтожение происходит только за счет белых бактерий. Следовательно, чтобы уничтожить все черные, потребуется:
- Чтобы уничтожить 14 черных бактерий, нужно 14 белых бактерий, а при увеличении их количества делением, белых станет больше, чем достаточно для уничтожения всех черных.
Итоговая мысль:
- На каждом шаге белых бактерий увеличивается вдвое, и они уничтожают черных бактерий равное своему количеству.
- Уничтожение черных заканчивается, когда их число уменьшается до нуля.
Ответ:
Черных бактерий становится 0, когда сумма уничтоженных черных равна исходной — 14.
Каждый раз число уничтоженных черных равно количеству белых на этой итерации, а белых удваивается.
Поскольку белых бактерий на первом шаге 1, на следующем — 2, затем 4, 8, 16…
Может показаться, что после \(k\) итераций их количество равно \(2^{k}\).
А чтобы уничтожить 14 черных бактерий, необходимо, чтобы сумма уничтоженных в течение нескольких итераций была ≥ 14.
Покуп полный взгляд:
- В итерации 1 (где белых было 1), уничтожено 1 черную
- Во 2 — 2 белых, уничтожено 2, суммарно 3
- В 3 — 4 белых, уничтожено 4, суммарно 7
- В 4 — 8 белых, уничтожено 8, суммарно 15
Обратите внимание, что уже на 4-ой итерации сумма уничтоженных черных достигает 15, что больше начального количества 14.
Это значит, что уже к 4-ой секунде весь черный пул уничтожен.
Теперь осталось убедиться, что через 4 секунды останутся только белые — они не исчезнут и останутся.
Итог:
- После 4-й итерации (через 4 секунды), все черные бактерии уничтожены.
- Количество белых — 16 (на 4-й секунде), и они делятся, поэтому их всегда достаточно, чтобы уничтожать черных на каждом шаге.
Ответ:
Через 4 секунды в колонии останутся только белые бактерии.
Если нужны дополнительные пояснения — обращайся!
