Решить уравнение по математике. Найти вещественные числа, удовлетворяющие уравнению: (2+i)x+(1+2i)y=1-4i

Рассмотрим уравнение с комплексными числами:
\[(2 + i) x + (1 + 2i) y = 1 - 4i\]

Здесь \(x\) и \(y\) — неизвестные, которые, согласно задаче, предполагаются вещественными числами. Нужно найти такие вещественные \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют этому уравнению.

Шаг 1. Запишем уравнение в виде систем из действительных частей и мнимых частей.

Раскроем скобки и выделим реальные и мнимые части:

\[ (2 + i) x = 2x + ix \] \[ (1 + 2i) y = y + 2iy \]

Теперь сумма:

\[ (2x + y) + i (x + 2y) = 1 - 4i \]

Реальная часть равна:

\[ 2x + y \]

Мнимая часть равна:

\[ x + 2y \]

Их соответствие:

\[ 2x + y = \text{реальная часть RHS} = 1 \] \[ x + 2y = \text{мнимая часть RHS} = -4 \]

получили систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + y = 1 \quad (1) \\ x + 2y = -4 \quad (2) \end{cases} \]

Шаг 2. Решим систему линейных уравнений.

Из уравнения (1):

\[ y = 1 - 2x \]

Подставим в уравнение (2):

\[ x + 2(1 - 2x) = -4 \] \[ x + 2 - 4x = -4 \] \[ -3x + 2 = -4 \] \[ -3x = -6 \] \[ x = 2 \]

Теперь найдём \(y\):

\[ y = 1 - 2 \times 2 = 1 - 4 = -3 \]

Шаг 3. Проверка решения и его соответствия условию "вещественные числа".

Обнаружили, что:

\[ x = 2, \quad y = -3 \]

оба — вещественные числа.

Проверка:

\[ 2x + y = 2 \times 2 + (-3) = 4 - 3 = 1 \quad \checkmark \] \[ x + 2y = 2 + 2 \times (-3) = 2 - 6 = -4 \quad \checkmark \]

Решение соответствует исходной системе.

Ответ:

\[ \boxed{ x = 2, \quad y = -3 } \]