Рассмотрим уравнение с комплексными числами:
[(2 + i) x + (1 + 2i) y = 1 - 4i]
Здесь (x) и (y) — неизвестные, которые, согласно задаче, предполагаются вещественными числами. Нужно найти такие вещественные (x) и (y), которые удовлетворяют этому уравнению.
Шаг 1. Запишем уравнение в виде систем из действительных частей и мнимых частей.
Раскроем скобки и выделим реальные и мнимые части:
[
(2 + i) x = 2x + ix
]
[
(1 + 2i) y = y + 2iy
]
Теперь сумма:
[
(2x + y) + i (x + 2y) = 1 - 4i
]
Реальная часть равна:
[
2x + y
]
Мнимая часть равна:
[
x + 2y
]
Их соответствие:
[
2x + y = \text{реальная часть RHS} = 1
]
[
x + 2y = \text{мнимая часть RHS} = -4
]
получили систему уравнений:
[
\begin{cases}
2x + y = 1 \quad (1) \
x + 2y = -4 \quad (2)
\end{cases}
]
Шаг 2. Решим систему линейных уравнений.
Из уравнения (1):
[
y = 1 - 2x
]
Подставим в уравнение (2):
[
x + 2(1 - 2x) = -4
]
[
x + 2 - 4x = -4
]
[
-3x + 2 = -4
]
[
-3x = -6
]
[
x = 2
]
Теперь найдём (y):
[
y = 1 - 2 \times 2 = 1 - 4 = -3
]
Шаг 3. Проверка решения и его соответствия условию "вещественные числа".
Обнаружили, что:
[
x = 2, \quad y = -3
]
оба — вещественные числа.
Проверка:
[
2x + y = 2 \times 2 + (-3) = 4 - 3 = 1 \quad \checkmark
]
[
x + 2y = 2 + 2 \times (-3) = 2 - 6 = -4 \quad \checkmark
]
Решение соответствует исходной системе.
Ответ:
[
\boxed{
x = 2, \quad y = -3
}
]
