Решить уравнение по математике. Найти вещественные числа, удовлетворяющие уравнению: (1+2i)x+(3+5i)y=1-3i
Дорогой ученик, давайте подробно разберем, как решить ваше уравнение, которое содержит комплексные числа:
\[ (1 + 2i)x + (3 + 5i)y = 1 - 3i \]
где \(x\) и \(y\) — это вещественные числа.
Шаг 1: Записать уравнение
У нас есть одно уравнение с двумя неизвестными, и оно комплексное. Для нахождения решений лучше разложить его на действительные и мнимые части.
Шаг 2: Разложить уравнение на действительную и мнимую части
Обозначим:
\[ A = (1 + 2i)x + (3 + 5i)y \]
Раскроем скобки:
\[ A = 1 \cdot x + 2i \cdot x + 3 \cdot y + 5i \cdot y \]
Запишем отдельно действительную и мнимую части:
- Действительная часть:
\[ x + 3y \]
- Мнимая часть:
\[ 2x + 5y \]
Обозначим, что всё уравнение равно \(1 - 3i\). Тогда его действительная часть равна 1, а мнимая — \(-3\).
Итог: разложение уравнения
\[ \underbrace{(x + 3y)}_{\text{действительная часть}} + i \underbrace{(2x + 5y)}_{\text{мнимая часть}} = 1 - 3i \]
Чтобы равенство выполнялось, действительные и мнимые части должны быть равны по отдельности:
\[ x + 3y = 1 \quad \text{(1)} \] \[ 2x + 5y = -3 \quad \text{(2)} \]
Шаг 3: Решить систему уравнений
Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:
\[ \begin{cases} x + 3y = 1 \\ 2x + 5y = -3 \end{cases} \]
Решим ее, например, методом подстановки или исключения.
Метод исключения:
Умножим первое уравнение на 2, чтобы убрать \(x\):
\[ 2(x + 3y) = 2 \cdot 1 \Rightarrow 2x + 6y = 2 \]
Теперь запишем новое уравнение:
\[ 2x + 6y = 2 \quad \text{(3)} \]
Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):
\[ (2x + 6y) - (2x + 5y) = 2 - (-3) \] \[ 2x + 6y - 2x - 5y = 5 \] \[ (6y - 5y) = 5 \] \[ y = 5 \]
Теперь подставим \(y=5\) в первое уравнение:
\[ x + 3 \cdot 5 = 1 \] \[ x + 15 = 1 \] \[ x = 1 - 15 = -14 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = -14, \quad y = 5 } \]
Это — вещественные числа, удовлетворяющие исходному комплексному уравнению.
Если есть еще вопросы или что-то нужно пояснить — спрашивайте!
