Теореме Виета

Теорема Виета — это важное утверждение в алгебре, которое связывает коэффициенты квадратичного уравнения с его корнями. Разберём её подробно: ### Что такое квадратичное уравнение? Общий вид: \[ ax^2 + bx + c = 0 \], где \( a \neq 0 \), а, b, c — коэффициенты. ### Теорема Виета для квадратичного уравнения: Если уравнение имеет два корня, обозначим их как \( x_1 \) и \( x_2 \), тогда: 1. **Сумма корней:** \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] 2. **Произведение корней:** \[ x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \] --- ### Почему это так? Рассмотрим разложение квадратного уравнения через его корни: \[ a(x - x_1)(x - x_2) \] Раскроем скобки: \[ a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2] \] Это равно: \[ a x^2 - a(x_1 + x_2) x + a x_1 x_2 \] Это должно быть равно исходному уравнению: \[ a x^2 + b x + c \] Потому что коэффициенты сравниваются: - Коэффициент при \( x^2 \): \( a \) с обеих частей совпадает. - Коэффициент при \( x \): \(-a(x_1 + x_2) = b \), откуда \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]. - Свободный член: \( a x_1 x_2 = c \), откуда \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]. --- ### Итоги: - **Сумма корней:** отрицательный коэффициент при \( x \), делённый на ведущий коэффициент. - **Произведение корней:** свободный член, делённый на ведущий коэффициент. Это очень полезная теорема! Она помогает находить корни уравнения или проверять правильность решений. Если нужно, я могу помочь решить конкретное уравнение или объяснить применение теоремы Виета на практике.