f(x)=x³-3x²-4 1) найти промежутки ↑ и ↓ 2) найти точки экстремума f(x)= 2x³+3x²-72x найти Max и min на [0;4]

Здравствуйте! Разберем обе задачи по порядку и подробно объясним каждый шаг.

---

Задача 1: Найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума для функции

\[f(x) = x^3 - 3x^2 - 4\]

---

Шаг 1: Находим первую производную \(f'(x)\)

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 4) = 3x^2 - 6x\]

---

Шаг 2: Находим критические точки, где \(f'(x) = 0\)

\[3x^2 - 6x = 0\]

Вынесем за скобки:

\[3x(x - 2) = 0\]

Отсюда получаем два критических значения:

\[x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2\]

---

Шаг 3: Исследуем знак производной для определения промежутков возрастания и убывания

Рассмотрим знак \(f'(x) = 3x^2 - 6x\).

• Для \(x < 0\):

Подставим \(x = -1\):

\[f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0\]

Значит, \(f'(x) > 0\), функция возрастает на \([-\infty, 0)\).

• Для \(0 < x < 2\):

Подставим \(x = 1\):

\[f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0\]

Значит, \(f'(x) < 0\), функция убывает на \((0, 2)\).

• Для \(x > 2\):

Подставим \(x = 3\):

\[f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3*9 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0\]

Функция возрастает на \((2, \infty)\).

---

Ответ по части 1:

• Возрастающие промежутки: \((-\infty, 0)\) и \((2, +\infty)\)
• Убывающие промежутки: \((0, 2)\)

---

Шаг 4: Определяем точки экстремума

• В точках критических \(x=0\) и \(x=2\):

Для определения типа экстремума (максимум или минимум), исследуем знак второй производной:

\[f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6\]

• В точке \(x=0\):

\[f''(0) = 6*0 - 6 = -6 < 0 \Rightarrow \text{точка } x=0 \text{ — максимум}\]

• В точке \(x=2\):

\[f''(2) = 6*2 - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \Rightarrow \text{точка } x=2 \text{ — минимум}\]

---

Ответ:

• Максимум при \(x=0\), значение функции:
  \[f(0) = 0^3 - 3*0^2 -4 = -4\]

• Минимум при \(x=2\), значение функции:
  \[f(2) = 2^3 - 3*2^2 -4 = 8 - 3*4 - 4 = 8 - 12 - 4 = -8\]

---

Итог по первой задачи:

Точка	Тип экстремума	Значение функции
\(x=0\)	максимум	\(-4\)
\(x=2\)	минимум	\(-8\)

---

Задача 2: Найти максимум и минимум функции

\[f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 72x\] на интервале \([0;4]\)

---

Шаг 1: Находим первую производную

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 72x) = 6x^2 + 6x - 72\]

Округлим:

\[f'(x) = 6x^2 + 6x - 72\]

или сократим на 6:

\[f'(x) = 6(x^2 + x - 12)\]

---

Шаг 2: Находим критические точки \(f'(x) = 0\)

\[x^2 + x - 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4*1*(-12)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}\]

\[x = \frac{-1 \pm 7}{2}\]

• При плюсе:

\[x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

• При минусе:

\[x = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]

На интервале \([0,4]\) рассматриваем критическую точку \(x=3\) (поскольку \(x=-4\) вне интервала).

---

Шаг 3: Исследуем знак производной на границах и внутри интервала

• В точке \(x=0\):

\[f'(0) = 6(0)^2 + 6*0 - 72 = -72 < 0\]

Значит, функция убывает на окрестности \(x=0\).

• В точке \(x=3\):

\[f'(3) = 6(9) + 6(3) - 72 = 54 + 18 - 72 = 0\] (критическая точка)

• В точке \(x=4\):

\[f'(4) = 6(16) + 6(4) - 72 = 96 + 24 - 72 = 48 > 0\]

• Между \(x=0\) и \(x=3\):

Подставим \(x=1.5\):

\[f'(1.5) = 6(2.25) + 6(1.5) - 72 = 13.5 + 9 - 72 = -49.5 < 0\]

• Между \(x=3\) и \(x=4\):

Подставим \(x=3.5\):

\[f'(3.5) = 6(12.25) + 6(3.5) - 72 = 73.5 + 21 - 72 = 22.5 > 0\]

Итак, на интервале \([0,4]\):

• \(f(x)\) убывает от \(x=0\) до \(x=3\),
• в точке \(x=3\) — критическая точка,
• после \(x=3\) — функция возрастает до \(x=4\), где значение \(f(4)\) необходимо найти.

---

Шаг 4: Находим значения функции в ключевых точках и на границах

• В точке \(x=0\):

\[f(0) = 2*0 + 3*0 - 72*0 = 0\]

• В точке \(x=3\):

\[f(3) = 2*27 + 3*9 - 72*3 = 54 + 27 - 216 = 81 - 216 = -135\]

• В точке \(x=4\):

\[f(4) = 2*64 + 3*16 - 72*4 = 128 + 48 - 288 = 176 - 288 = -112\]

---

Итог:

• На границе \(x=0\) значение функции: 0
• Внутри интервала, в точке \(x=3\): значение функции: -135 (минимум)
• На границе \(x=4\): значение функции: -112

Максимум на \([0,4]\):

• \(f(0) = 0\)

Минимум на \([0,4]\):

• \(f(3) = -135\)

---

Итог по второй задаче:

Точка	Значение функции	Тип
\(x=0\)	0	максимум
\(x=3\)	-135	минимум
\(x=4\)	-112	—

---

Если нужны дополнительные объяснения или помощь — обращайтесь!