F(x)=x³-3x²-4 1) найти промежутки ↑ и ↓ 2) найти точки экстремума f(x)= 2x³+3x²-72x найти Max и min на [0;4]

Здравствуйте! Разберем обе задачи по порядку и подробно объясним каждый шаг. --- ### Задача 1: Найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума для функции \[f(x) = x^3 - 3x^2 - 4\] --- ### Шаг 1: Находим первую производную \(f'(x)\) \[f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 4) = 3x^2 - 6x\] --- ### Шаг 2: Находим критические точки, где \(f'(x) = 0\) \[3x^2 - 6x = 0\] Вынесем за скобки: \[3x(x - 2) = 0\] Отсюда получаем два критических значения: \[x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2\] --- ### Шаг 3: Исследуем знак производной для определения промежутков возрастания и убывания Рассмотрим знак \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). - Для \(x < 0\): Подставим \(x = -1\): \[f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0\] Значит, \(f'(x) > 0\), функция возрастает на \([-\infty, 0)\). - Для \(0 < x < 2\): Подставим \(x = 1\): \[f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0\] Значит, \(f'(x) < 0\), функция убывает на \((0, 2)\). - Для \(x > 2\): Подставим \(x = 3\): \[f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3*9 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0\] Функция возрастает на \((2, \infty)\). --- ### **Ответ по части 1:** - **Возрастающие промежутки:** \((-\infty, 0)\) и \((2, +\infty)\) - **Убывающие промежутки:** \((0, 2)\) --- ### Шаг 4: Определяем точки экстремума - В точках критических \(x=0\) и \(x=2\): Для определения типа экстремума (максимум или минимум), исследуем знак второй производной: \[f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6\] - В точке \(x=0\): \[f''(0) = 6*0 - 6 = -6 < 0 \Rightarrow \text{точка } x=0 \text{ — максимум}\] - В точке \(x=2\): \[f''(2) = 6*2 - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \Rightarrow \text{точка } x=2 \text{ — минимум}\] --- ### **Ответ:** - Максимум при \(x=0\), значение функции: \[f(0) = 0^3 - 3*0^2 -4 = -4\] - Минимум при \(x=2\), значение функции: \[f(2) = 2^3 - 3*2^2 -4 = 8 - 3*4 - 4 = 8 - 12 - 4 = -8\] --- ## Итог по первой задачи: | Точка | Тип экстремума | Значение функции | |---------|----------------|------------------| | \(x=0\) | максимум | \(-4\) | | \(x=2\) | минимум | \(-8\) | --- ## Задача 2: Найти максимум и минимум функции \[f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 72x\] на интервале \([0;4]\) --- ### Шаг 1: Находим первую производную \[f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 72x) = 6x^2 + 6x - 72\] Округлим: \[f'(x) = 6x^2 + 6x - 72\] или сократим на 6: \[f'(x) = 6(x^2 + x - 12)\] --- ### Шаг 2: Находим критические точки \(f'(x) = 0\) \[x^2 + x - 12 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4*1*(-12)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}\] \[x = \frac{-1 \pm 7}{2}\] - При плюсе: \[x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\] - При минусе: \[x = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4\] На интервале \([0,4]\) рассматриваем критическую точку \(x=3\) (поскольку \(x=-4\) вне интервала). --- ### Шаг 3: Исследуем знак производной на границах и внутри интервала - В точке \(x=0\): \[f'(0) = 6(0)^2 + 6*0 - 72 = -72 < 0\] Значит, функция убывает на окрестности \(x=0\). - В точке \(x=3\): \[f'(3) = 6(9) + 6(3) - 72 = 54 + 18 - 72 = 0\] (критическая точка) - В точке \(x=4\): \[f'(4) = 6(16) + 6(4) - 72 = 96 + 24 - 72 = 48 > 0\] - Между \(x=0\) и \(x=3\): Подставим \(x=1.5\): \[f'(1.5) = 6(2.25) + 6(1.5) - 72 = 13.5 + 9 - 72 = -49.5 < 0\] - Между \(x=3\) и \(x=4\): Подставим \(x=3.5\): \[f'(3.5) = 6(12.25) + 6(3.5) - 72 = 73.5 + 21 - 72 = 22.5 > 0\] Итак, на интервале \([0,4]\): - \(f(x)\) убывает от \(x=0\) до \(x=3\), - в точке \(x=3\) — критическая точка, - после \(x=3\) — функция возрастает до \(x=4\), где значение \(f(4)\) необходимо найти. --- ### Шаг 4: Находим значения функции в ключевых точках и на границах - В точке \(x=0\): \[f(0) = 2*0 + 3*0 - 72*0 = 0\] - В точке \(x=3\): \[f(3) = 2*27 + 3*9 - 72*3 = 54 + 27 - 216 = 81 - 216 = -135\] - В точке \(x=4\): \[f(4) = 2*64 + 3*16 - 72*4 = 128 + 48 - 288 = 176 - 288 = -112\] --- ### Итог: - **На границе \(x=0\)** значение функции: **0** - **Внутри интервала**, в точке \(x=3\): значение функции: **-135** (минимум) - **На границе \(x=4\)**: значение функции: **-112** **Максимум** на \([0,4]\): - \(f(0) = 0\) **Минимум** на \([0,4]\): - \(f(3) = -135\) --- ## Итог по второй задаче: | Точка | Значение функции | Тип | |---------|-------------------|-----------------| | \(x=0\) | 0 | максимум | | \(x=3\) | -135 | минимум | | \(x=4\) | -112 | — | --- Если нужны дополнительные объяснения или помощь — обращайтесь!