В колонию из 12 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Через сколько секунд останутся только белые бактерии?

Давайте пошагово разберем задачу и найдём ответ. **Постановка задачи:** - Изначально: 12 черных бактерий, 1 белая бактерия. - Каждую секунду происходит два действия: 1. Каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию. 2. Все бактерии делятся надвое (каждая бактерия делится на 2). Нужно определить, через сколько секунд останутся только белые бактерии. --- ### Пошаговое решение #### 1. Изначальные условия: - Черных: 12 - Белых: 1 --- ### 2. В течение каждой секунды происходит: - **Уничтожение черных бактерий:** Каждая белая бактерия уничтожает одну черную. Всего белых бактерий — `W`. Т.е. за секунду уничтожается `W` черных бактерий (если столько черных осталось). - **Деление бактерий:** После уничтожения, все бактерии делятся пополам. --- ### 3. Важный момент: - Уничтожение происходит **до деления**. - После уничтожения черных бактерий, оставшиеся бактерии делятся. --- ### 4. Анализ сценария по шагам Пусть на шаге `i`: - `C_i` — число черных бактерий. - `W_i` — число белых бактерий. Изначально: ``` C_0 = 12 W_0 = 1 ``` --- ### 5. Первый шаг (`i=1`): - Уничтожение черных: - Белая бактерия уничтожает 1 черную бактерию. - Остаток черных: `C_1 = C_0 - W_0 = 12 - 1 = 11`. - После уничтожения: - Черных: 11 - Белых: 1 - Деление (каждая бактерия делится на 2): - Черных: `2 * 11 = 22` - Белых: `2 * 1 = 2` **ИТОГО:** ``` C_1 = 22 W_1 = 2 ``` --- ### 6. Второй шаг (`i=2`): - Уничтожение черных: Каждая белая уничтожает одну черную: `C_2 = C_1 - W_1 = 22 - 2 = 20` (если хватает черных) - Деление: - Черных: `2 * 20 = 40` - Белых: `2 * 2 = 4` **Итоги:** ``` C_2 = 40 W_2 = 4 ``` --- ### 7. Обобщение: На каждом шаге: 1. Черных — `C_i` 2. Белых — `W_i` Обновление: - **Черных:** `C_{i} = 2 * (C_{i-1} - W_{i-1})` (при условии, что `C_{i-1} >= W_{i-1}`) - **Белых:** `W_{i} = 2 * W_{i-1}` --- ### 8. Продолжим далее: | Шаг | `C` (черных) | `W` (белых) | Уничтожение черных | Новое число черных | Новое число белых | |-------|--------------|--------------|---------------------|---------------------|-------------------| | 0 | 12 | 1 | - | - | - | | 1 | 12 | 1 | 1 | 12 - 1 = 11 | 2 | | 2 | 11 | 2 | 2 | 2 * (11 - 2) = 18 | 4 | | 3 | 18 | 4 | 4 | 2 * (18 - 4) = 28 | 8 | | 4 | 28 | 8 | 8 | 2 * (28 - 8) = 40 | 16 | | 5 | 40 | 16 | 16 | 2 * (40 - 16) = 48| 32 | | 6 | 48 | 32 | 32 | 2 * (48 - 32) = 32| 64 | Обратите внимание — после 6-го шага: - Черных: 32 - Белых: 64 Следующий шаг (`i=7`): - Уничтожение черных бактерий: `W=64`, уничтожат 32 черных. Остаток черных: `32 - 64 = -32`, т.е. полностью уничтожены все черные. Но в такой ситуации с отрицательным числом черных, что означает: - Все черные уничтожены, и уничтожать больше нечего. - Автоматически все черные исчезают: теперь их число равно 0. --- ### 9. Финал: После уничтожения всех черных бактерий их число становится 0 или отрицательное — что равносильно их полному уничтожению. После деления: - Уже не осталось черных бактерий, белые продолжают делиться. Следовательно, **черных бактерий осталось 0** примерно на 7-м шаге, после которого все черные исчезли. --- ### **Ответ:** Черных бактерий исчезнут **через 7 секунд**. На этом этапе: - Чёрных бактерий — нет - Белых — `2^7 = 128` **Итак, через 7 секунд останутся только белые бактерии.** --- ## Итог: **Ответ:** Через **7 секунд** останутся только белые бактерии.