На складе каждой упаковке товара присваивают уникальный идентификатор, который может содержать десятичные цифры, 26 латинских букв (без учёта регистра) и символы из…
На складе каждой упаковке товара присваивают уникальный идентификатор, который может содержать десятичные цифры, 26 латинских букв (без учёта регистра) и символы из 476-символьного специального алфавита. В базе данных для хранения каждого идентификатора отведено одинаковое и минимально возможное число байт. При этом используется посимвольное кодирование идентификаторов, все символы кодируются одинаковым и минимально возможным числом бит. Известно, что для хранения 5000 идентификаторов отведено не более 1 Мбайт памяти. Определите максимально возможную длину идентификатора. В ответе запишите только целое число.
Дано:
- В базе данных хранится 5000 идентификаторов.
- Общий объём памяти для хранения — не более 1 Мбайт (1 048 576 байт).
- Каждый идентификатор состоит из символов, каждый символ кодируется одинаковым количеством бит.
- Все идентификаторы имеют одинаковую длину.
- В идентификаторе могут быть:
- десятичные цифры (10 символов),
- 26 латинских букв (без учёта регистра),
- и символы из 476-символьного специального алфавита.
Задача: определить максимально возможную длину идентификатора.
Шаг 1. Определение возможного количества символов
Общее число уникальных символов, которыми может содержаться идентификатор, равно:
\[ N_{символов} = 10 + 26 + 476 = 512 \]
Шаг 2. Вычисление общего количества символов во всех идентификаторах
Объем памяти для хранения 5000 идентификаторов:
\[ Общий объем = 1\,\048\,576\, \text{байт} \]
- В каждом байте 8 бит.
- Пусть длина каждого идентификатора — \( L \) символов.
- Каждый символ занимает \( b \) бит.
- Тогда объем для одного идентификатора:
\[ L \times b \text{ бит} \]
- Общее количество бит для всех 5000 идентификаторов:
\[ 5000 \times L \times b \text{ бит} \]
Общий объем в битах не может превысить:
\[ \text{Общий объем} = 1\,048\,576 \times 8 = 8\,388\,608 \text{ бит} \]
Шаг 3. Минимальное количество бит на символ
Разрешено использовать минимальное количество бит для кодирования символов. Поскольку кодируются все символы одинаковым числом бит, и код должен быть минимально возможным, то:
\[ b = \text{минимальное целое число бит, достаточное для кодирования 512 символов} \]
Чтобы представить 512 различных символов в двоичной системе, необходимо:
\[ b = \lceil \log_2 512 \rceil \]
Так как
\[ 2^9 = 512, \]
то:
\[ b = 9 \text{ бит} \]
Шаг 4. Вычисление максимально возможной длины идентификатора
Общая длина всех идентификаторов:
\[ \text{Общий бит} = 8\,388\,608 \]
Общий бит для хранения 5000 идентификаторов, у которых длина каждого — \( L \) символов:
\[ 5000 \times L \times 9 \leq 8\,388\,608 \]
Отсюда:
\[ L \leq \frac{8\,388\,608}{5000 \times 9} \]
Вычислим числитель и знаменатель:
\[ 5000 \times 9 = 45\,000 \]
Тогда:
\[ L \leq \frac{8\,388\,608}{45\,000} \approx 186.3 \]
Так как длина идентификатора — целое число, максимально возможная длина:
\[ L = 186 \]
Ответ:
\[ \boxed{186} \]
Максимально возможная длина идентификатора — 186 символов.
