Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 7 км…
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если она на 8 км/ч меньше скорости второго.
Давайте разберём эту задачу пошагово.
Дано:
- Два бегуна стартовали одновременно из одного места и движутся по круговой трассе.
- Через один час (60 минут) наблюдения:
- Первому бегуну осталось 7 км до окончания первого круга.
- Второго бегуна сообщили, что он прошёл первый круг за 3 минуты до этого момента.
Задача: Найти скорость первого бегуна, если её на 8 км/ч меньше скорости второго.
Шаг 1. Обозначения переменных
Обозначим:
- \( v_2 \) — скорость второго бегуна (км/ч)
- \( v_1 = v_2 - 8 \) — скорость первого бегуна (км/ч)
Шаг 2. Определить пройденные расстояния и оставшееся у первого бегуна
За 1 час:
- Первый бегун прошёл расстояние: \( v_1 \times 1 = v_1 \) км.
- Второй бегун прошёл: \( v_2 \times 1 = v_2 \) км.
На момент времени, когда прошло 60 минут, у первого бегуна осталось 7 км до окончания «круга».
Это значит, что он прошёл всю длину круга минус 7 км.
Обозначим длину круга как \( L \) км. Тогда:
\[ \text{Пройдено первым бегуном} = L - 7 \text{ км} \] и
\[ v_1 = \text{расстояние, пройденное за 1 час} = L - 7 \]
Значит:
\[ L = v_1 + 7 \]
Шаг 3. Определить, когда был завершён первый круг вторым бегуном
Время, которое понадобилось второму бегуну, чтобы пройти свой первый круг:
\[ t_2 = \frac{L}{v_2} \]
По условию, этот момент — за 3 минуты (0,05 часа) до рассмотренного времени, то есть:
\[ t_2 = 60 \text{ мин} - 3 \text{ мин} = 57 \text{ мин} = 0,95 \text{ часа} \]
Следовательно, если он прошёл круг за это время:
\[ L = v_2 \times 0,95 \]
Но у нас есть выражение для \( L \):
\[ L = v_1 + 7 \]
И ещё:
\[ L = v_2 \times 0.95 \]
Шаг 4. Записать систему уравнений
Объединим оба выражения для \( L \):
\[ v_1 + 7 = 0.95 v_2 \]
и
\[ v_1 = v_2 - 8 \]
Подставим \( v_1 = v_2 - 8 \) в первое уравнение:
\[ (v_2 - 8) + 7 = 0.95 v_2 \]
или:
\[ v_2 - 8 + 7 = 0.95 v_2 \]
\[ v_2 - 1 = 0.95 v_2 \]
Перенесём все в одну сторону:
\[ v_2 - 0.95 v_2 = 1 \]
\[ 0.05 v_2 = 1 \]
Следовательно,
\[ v_2 = \frac{1}{0.05} = 20 \text{ км/ч} \]
Теперь найдём \( v_1 \):
\[ v_1 = v_2 - 8 = 20 - 8 = 12 \text{ км/ч} \]
Ответ:
Скорость первого бегуна — 12 км/ч.
Если есть вопросы или нужен более детальный разбор, я готов помочь!
