Давайте разберём эту задачу пошагово.
Дано:
- Два бегуна стартовали одновременно из одного места и движутся по круговой трассе.
- Через один час (60 минут) наблюдения:
- Первому бегуну осталось 7 км до окончания первого круга.
- Второго бегуна сообщили, что он прошёл первый круг за 3 минуты до этого момента.
Задача: Найти скорость первого бегуна, если её на 8 км/ч меньше скорости второго.
Шаг 1. Обозначения переменных
Обозначим:
- ( v_2 ) — скорость второго бегуна (км/ч)
- ( v_1 = v_2 - 8 ) — скорость первого бегуна (км/ч)
Шаг 2. Определить пройденные расстояния и оставшееся у первого бегуна
За 1 час:
- Первый бегун прошёл расстояние: ( v_1 \times 1 = v_1 ) км.
- Второй бегун прошёл: ( v_2 \times 1 = v_2 ) км.
На момент времени, когда прошло 60 минут, у первого бегуна осталось 7 км до окончания «круга».
Это значит, что он прошёл всю длину круга минус 7 км.
Обозначим длину круга как ( L ) км. Тогда:
[
\text{Пройдено первым бегуном} = L - 7 \text{ км}
]
и
[
v_1 = \text{расстояние, пройденное за 1 час} = L - 7
]
Значит:
[
L = v_1 + 7
]
Шаг 3. Определить, когда был завершён первый круг вторым бегуном
Время, которое понадобилось второму бегуну, чтобы пройти свой первый круг:
[
t_2 = \frac{L}{v_2}
]
По условию, этот момент — за 3 минуты (0,05 часа) до рассмотренного времени, то есть:
[
t_2 = 60 \text{ мин} - 3 \text{ мин} = 57 \text{ мин} = 0,95 \text{ часа}
]
Следовательно, если он прошёл круг за это время:
[
L = v_2 \times 0,95
]
Но у нас есть выражение для ( L ):
[
L = v_1 + 7
]
И ещё:
[
L = v_2 \times 0.95
]
Шаг 4. Записать систему уравнений
Объединим оба выражения для ( L ):
[
v_1 + 7 = 0.95 v_2
]
и
[
v_1 = v_2 - 8
]
Подставим ( v_1 = v_2 - 8 ) в первое уравнение:
[
(v_2 - 8) + 7 = 0.95 v_2
]
или:
[
v_2 - 8 + 7 = 0.95 v_2
]
[
v_2 - 1 = 0.95 v_2
]
Перенесём все в одну сторону:
[
v_2 - 0.95 v_2 = 1
]
[
0.05 v_2 = 1
]
Следовательно,
[
v_2 = \frac{1}{0.05} = 20 \text{ км/ч}
]
Теперь найдём ( v_1 ):
[
v_1 = v_2 - 8 = 20 - 8 = 12 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость первого бегуна — 12 км/ч.
Если есть вопросы или нужен более детальный разбор, я готов помочь!
