Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в дом больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже…

Рассмотрим задачу:

• Пусть:
  • \(E\) — число этажей в доме.
  • \(K\) — число квартир на этаже.
  • \(P\) — число подъездов.

Дано:

• Всего квартир: 110.
• Число этажей больше числа квартир на этаже: \(E > K\).
• Число квартир на этаже больше числа подъездов: \(K > P\).
• Число подъездов больше 1: \(P > 1\).

Общая формула: \[ \text{Общее число квартир} = P \times E \times K = 110. \]

Теперь ищем целые положительные числа \(P, E, K\), удовлетворяющие условиям:

1. \(E > K > P > 1\).
2. \(P \times E \times K = 110\).

Переберем делители 110 и разложим их на возможные произведения.

Факторизация числа 110: \[ 110 = 2 \times 5 \times 11. \]

Все делители: \[ 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110. \]

Так как \(P > 1\), то \(P\) может быть 2, 5, 10, 11, 22, 55.

Переберем вариант за вариантом:

Вариант P=2

Тогда: \[ E \times K = \frac{110}{2} = 55. \] Нужно найти делители 55 такие, чтобы: \[ E > K > 2. \]

Делители 55: \[ 1, 5, 11, 55. \] Пары делителей (E, K):

• (55, 1): не подходит, так как 1 не больше 2.
• (11, 5): 11 > 5 > 2 — подходит! Проверка условий: \(E=11, K=5, P=2\).

Проверяем условие: \(E > K > P\): \[ 11 > 5 > 2 \quad \text{– верно.} \] Общее число квартир: \[ 2 \times 11 \times 5 = 110, \] что соответствует условию.

Проверяем еще раз:

• \(E > K\) — 11 > 5 — верно.
• \(K > P\) — 5 > 2 — верно.
• Все условия выполнены.

Получается, число этажей \(E = 11\).

Остальные вариации для проверки (по желанию)

Поскольку нашли подходящий вариант, и он полностью соответствует условиям, можно сделать вывод:

Ответ: 11.

ИТОГ: в доме 11 этажей.