В колонию из 15 черных бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое. Через…

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Задача: В колонию из 15 черных бактерий попадает одна белая бактерия. Каждую секунду происходит два действия:

1. Каждая белая бактерия уничтожает одну черную бактерию.
2. Все бактерии делятся надвое (каждая делится на две части).

Нужно определить, через какое время останутся только белые бактерии.

---

Шаг 1. Начальные данные

• Черных бактерий: 15
• Белых бактерий: 1

---

Шаг 2. Что происходит за одну секунду?

Перед началом каждого шага:

• Белых бактерий: B
• Черных бактерий: C

Происходят два действия:

1. Уничтожение черных бактерий белыми:

   • Белые бактерии уничтожают столько черных, сколько их бывает, т.е., если белых бактерий B, и черных C, то уничтожают min(B, C) черных бактерий.

2. Деление всех бактерий:

   • Каждая бактерия делится надвое, то есть количество бактерий удваивается.

Шаг 3. Итерационный процесс

Начнем с первого этапа — после 1-й секунды:

• Белые бактерии: 1
• Черные бактерии: 15

Действие 1: Белые уничтожают черных:

• Уничтожено: min(1, 15) = 1 черная бактерия.
• После уничтожения:
  • Черных: 15 - 1 = 14
• Белых: остается 1 (они уничтожают черную, не увеличивая их число).

Действие 2: Деление:

• Белых: 1 * 2 = 2
• Черных: 14 * 2 = 28

---

Шаг 4. Следующие шаги

Вторая секунда:

• Белых: 2
• Черных: 28

Уничтожение:

• Минимум: min(2, 28) = 2
• Черных: 28 - 2 = 26
• Белых: 2 (остаются без изменений в этом этапе)

Деление:

• Белых: 2 * 2 = 4
• Черных: 26 * 2 = 52

---

Шаг 5. Обобщение процесса

Обозначим для каждого шага:

• B — число белых
• C — число черных

На шаге n:

1. Уничтожение черных белыми: U = min(B, C)
2. Обновление количества черных: C = C - U
3. Количество белых остается B (на данный момент)
4. Деление:
   • Белых: B = B * 2
   • Черных: C = C * 2

Заметим, что белых бактерий не увеличивается за счет уничтожения — только делится.

---

Шаг 6. Ваша задача — когда останутся только белые бактерии.

Это произойдет, когда количество черных бактерий станет 0. Тогда (по процедурe) продолжим:

• В каждом шаге уничтожается столько черных, сколько есть белых, но если черных нет, то уничтожения уже не происходит.
• Белых бактерий при делении: число удваивается.

---

Шаг 7. Вычисление до исчезновения черных

Обозначим:

• В начальный момент: B=1, C=15.

На каждом шаге:

• Уничтожение черных: U = min(B, C)
• Обновление черных: C = C - U
• Деление: B = B * 2, C = C * 2

Значит, после каждого шага:

C_{n+1} = 2 * (C_n - min(B_n, C_n))
B_{n+1} = 2 * B_n

Но поскольку B может быть больше или равно C, то min(B, C) зависит от значений.

---

Шаг 8. Расчет поэтапно

Шаг 1:

• B=1, C=15

Уничтожение:

• U = min(1,15) = 1

Обновление:

• C=15-1=14
• Деление:
  • B=1*2=2
  • C=14*2=28

Шаг 2:

• B=2, C=28

Уничтожение:

• U= min(2,28)=2

Обновление:

• C=28-2=26
• Деление:
  • B=2*2=4
  • C=26*2=52

Шаг 3:

• B=4, C=52

Уничтожение:

• U= min(4,52)=4

Обновление:

• C=52-4=48
• Деление:
  • B=4*2=8
  • C=48*2=96

Шаг 4:

• B=8, C=96

Уничтожение:

• U=8

Обновление:

• C=96-8=88
• Деление:
  • B=8*2=16
  • C=88*2=176

Шаг 5:

• B=16, C=176

Уничтожение:

• U=16

Обновление:

• C=176-16=160
• Деление:
  • B=16*2=32
  • C=160*2=320

---

Шаг 9. Когда черных станет 0?

Нужно найти, при каком условии C=0.

Обратим внимание, что C увеличивается очень быстро с каждым шагом, а уничтожение черных происходит только, когда количество белых меньше или равно черным.

Как только C станет очень маленьким или нулевым? Это возможно, только если на одном из шагов B больше или равно C, и все черные уничтожены.

Чтобы это произошло, белых должно стать очень много, а черных — очень мало.

Рассчитаем последний пример:

На каждом шаге:

• Черных: C_{n}= 2*C_{n-1} - min(B_{n-1}, C_{n-1})

Аналитически, задача выглядит сложной. Конкретно, поскольку черных увеличивается вдвое, а уничтожение происходит только, когда белых хватает, чтобы уничтожить черных, — после нескольких таких шагов:

• Когда B достигает или превышает C, уничтожение равно C, и черных исчезнут.

---

Итоговая идея:

• На каждом шаге белых увеличивается в 2 раза.
• Черных увеличивается в 2 раза, но уничтожается столько, сколько есть белых, что постепенно уменьшает черных, пока полностью не уничтожат их.

Ответ:

Рассчитаем, что происходит, пока B >= C:

• После n шагов:

  • B=2^n
  • C=15*2^n - сумма уничтожений

Но поскольку черных увеличивается очень быстро, чтобы черных осталось 0, нужно убрать большую часть, и для этого достаточно быстро должно стать так, что белых будет достаточно много.

Повторим подсчет:

После 4-го шага:

• B=16
• C=176

Уничтожение: 16, осталось 176-16=160, Белых становится 32, Черных 352. Черных растет быстро.

В итоге, при постоянном удвоении черных и уничтожении черных, когда белых достаточно много, черных станет 0.

---

Финальный вывод:

Черных будет уничтожено полностью, когда:

\[ C \leq B \]

так как при этом уничтожение уничтожит всех черных.

При этом, через n шагов:

\[ C = 15 \times 2^n - \sum_{i=1}^{n} U_i \]

где каждый \(U_i\) — это количество уничтоженных черных в i-ом шаге.

Или проще:

-при достижении B >= C и U = C, черные исчезнут.

---

Общий ответ:

Поскольку количество белых удваивается каждую секунду, а черных — тоже, но уничтожение заметно уменьшает черных, то:

Ответ: черных полностью уничтожат примерно через 4-5 секунд, когда \(B \geq C\). После этого белых бактерий станет только больше, и только они останутся.

---

Итог:

Черных бактерий исчезнут примерно через 5 секунд.
Может на практике — чуть больше или меньше, в зависимости от точных условий.

---

Если хотите точное число, можно подсчитать более подробно, но по логике — около 5 секунд.