Давайте подробно решим данную задачу.
Дано:
- Изначально в 20 г воды — 80 г перманганата калия (КМnO₄).
- После добавления воды содержание КМnO₄ снизилось до 20%.
- Потом добавили чистый КМnO₄, и содержание повысилось до 60%.
- Изначальный общий вес раствора был 500 г.
Шаг 1: Определить начальную массу раствора и содержание КМnO₄
Изначально:
- масса воды ( m_{воды} = 20 ) г
- масса КМnO₄ ( m_{КМnO₄} = 80 ) г
- Общая масса раствора ( M_{нач} = 20 + 80 = 100 ) г
Шаг 2: Массы при понижении содержания до 20%
После добавления воды содержание КМnO₄ составляет 20%. Пусть:
- добавленная вода — ( x ) г
Общий вес раствора после добавления воды:
[
M_1 = 100 + x
]
Масса КМnO₄ остаётся неизменной (80 г, так как добавляли только воду), а содержание:
[
\frac{80}{M_1} \times 100% = 20%
]
Из этого:
[
\frac{80}{100 + x} \times 100% = 20%
]
Рассмотрим без процентов:
[
\frac{80}{100 + x} = 0.2
]
Отсюда:
[
80 = 0.2 \times (100 + x)
]
Раскроем скобки:
[
80 = 0.2 \times 100 + 0.2 x
]
[
80 = 20 + 0.2 x
]
Вычитая 20:
[
80 - 20 = 0.2 x
]
[
60 = 0.2 x
]
Отсюда:
[
x = \frac{60}{0.2} = 300 \text{ г}
]
Ответ на этот этап: добавлено 300 г воды. Общий вес раствора после добавки:
[
M_2 = 100 + 300 = 400 \text{ г}
]
Шаг 3: Масса КМnO₄ и добавление чистого перманганата для повышения содержания до 60%
После добавки воды количество КМnO₄ осталось 80 г. Теперь масса раствора — 400 г, и содержание:
[
\frac{80}{400} \times 100% = 20%
]
Это соответствует условию.
Теперь добавляют чистый КМnO₄ (массой ( m_{добавки} )), и получаем новое содержание 60%. Обозначим добавленную массу КМnO₄ как ( m ).
Общий вес после добавления:
[
M_3 = 400 + m
]
Общая масса КМnO₄:
[
80 + m
]
Общее содержание:
[
\frac{80 + m}{M_3} \times 100% = 60%
]
Запишем уравнение:
[
\frac{80 + m}{400 + m} = 0.6
]
Крестообразно:
[
80 + m = 0.6 \times (400 + m)
]
Раскроем скобки:
[
80 + m = 240 + 0.6 m
]
Перенесем ( 0.6 m ) в левую сторону:
[
80 + m - 0.6 m = 240
]
[
80 + 0.4 m = 240
]
Вычитая 80:
[
0.4 m = 160
]
Отсюда:
[
m = \frac{160}{0.4} = 400 \text{ г}
]
Ответ:
Масса получившегося раствора после всех добавок:
[
M_{итог} = 400 + 400 = \boxed{800}
]
Итответ: 800
