Анжела бросает симметричную монету 114 раз. Найдите отношение вероятности события «орёл выпадет ровно 34 раза» к вероятности события «орёл выпадет ровно 35 раза»
Рассмотрим задачу: Анжела бросает симметричную монету 114 раз, и нам нужно найти отношение вероятностей двух событий:
- Орёл выпадет ровно 34 раза.
- Орёл выпадет ровно 35 раз.
Обозначим:
- \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность выпадения орла при одном броске.
- Общее число бросков: \( n = 114 \).
- Количество случаев, в которых выпадает орёл: \( k \) — 34 или 35.
Вероятность того, что орёл выпадет ровно \( k \) раз, задается биномиальной формулой:
\[ P(k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \]
Поскольку монета симметричная, \( p = 1/2 \). Тогда:
\[ P(k) = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^n \]
Следовательно, отношение интересующих нас вероятностей:
\[ R = \frac{P(34)}{P(35)} = \frac{\binom{114}{34} \left(\frac{1}{2}\right)^{114}}{\binom{114}{35} \left(\frac{1}{2}\right)^{114}} = \frac{\binom{114}{34}}{\binom{114}{35}} \]
Обратите внимание, что степени \( \left(\frac{1}{2}\right)^{114} \) сокращаются. В результате, осталось найти отношение биномиальных коэффициентов:
\[ R = \frac{\binom{114}{34}}{\binom{114}{35}} \]
Рассмотрим свойство биномиальных коэффициентов:
\[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} \]
И также есть отношение:
\[ \frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}} = \frac{k+1}{n - k} \]
Проверим, применимо ли это к нашим значениям \( k=34 \):
\[ \frac{\binom{114}{34}}{\binom{114}{35}} = \frac{35}{114 - 34} = \frac{35}{80} \]
Итак, итоговое отношение:
\[ \boxed{\frac{35}{80} = \frac{7}{16}} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{7}{16}} \]
