Рассмотрим задачу: Анжела бросает симметричную монету 114 раз, и нам нужно найти отношение вероятностей двух событий:
- Орёл выпадет ровно 34 раза.
- Орёл выпадет ровно 35 раз.
Обозначим:
- ( p = \frac{1}{2} ) — вероятность выпадения орла при одном броске.
- Общее число бросков: ( n = 114 ).
- Количество случаев, в которых выпадает орёл: ( k ) — 34 или 35.
Вероятность того, что орёл выпадет ровно ( k ) раз, задается биномиальной формулой:
[
P(k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}
]
Поскольку монета симметричная, ( p = 1/2 ). Тогда:
[
P(k) = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^n
]
Следовательно, отношение интересующих нас вероятностей:
[
R = \frac{P(34)}{P(35)} = \frac{\binom{114}{34} \left(\frac{1}{2}\right)^{114}}{\binom{114}{35} \left(\frac{1}{2}\right)^{114}} = \frac{\binom{114}{34}}{\binom{114}{35}}
]
Обратите внимание, что степени ( \left(\frac{1}{2}\right)^{114} ) сокращаются. В результате, осталось найти отношение биномиальных коэффициентов:
[
R = \frac{\binom{114}{34}}{\binom{114}{35}}
]
Рассмотрим свойство биномиальных коэффициентов:
[
\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}
]
И также есть отношение:
[
\frac{\binom{n}{k}}{\binom{n}{k+1}} = \frac{k+1}{n - k}
]
Проверим, применимо ли это к нашим значениям ( k=34 ):
[
\frac{\binom{114}{34}}{\binom{114}{35}} = \frac{35}{114 - 34} = \frac{35}{80}
]
Итак, итоговое отношение:
[
\boxed{\frac{35}{80} = \frac{7}{16}}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{7}{16}}
]
