Из приведённых на рисунке напряжённых состояний (напряжения – в МПа) для пластичного материала в соответствии с гипотезой максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска ‒…

На рисунке представлены три напряжённых состояния (напряжения в МПа) для пластичного материала, и нам нужно определить, какое из них наиболее опасное согласно гипотезе максимальных касательных напряжений (гипотеза Треска – Сен-Венана).

Гипотеза Треска — Сен-Венана говорит, что разрушение происходит тогда, когда максимальное касательное напряжение в материале достигает критического значения, характерного для материала. В более простых терминах: чем больше максимальное касательное напряжение, тем более опасное (или вероятность разрушения) состояние.

Шаги решения:

1. Определение главных напряжений:
   В каждом случае даны нормальные напряжения по осям \(x\), \(y\), и \(z\).

2. Определение касательных напряжений:
   Максимальное касательное напряжение в трёхмерной состоянии рассчитывается по формуле:

   \[ \tau_{max} = \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2} \]

   где \(\sigma_{max}\) и \(\sigma_{min}\) — максимальные и минимальные главные нормальные напряжения.

3. Обчисление главных напряжений:
   Для каждого состояния по трем осям:

   • a: напряжения \(\sigma_x=60\), \(\sigma_y=80\), \(\sigma_z=30\)
   • b: напряжения \(\sigma_x=110\), \(\sigma_y=90\), \(\sigma_z=60\)
   • в: напряжения \(\sigma_x=50\), \(\sigma_y=60\), \(\sigma_z=50\)

4. Нахождение максимальных и минимальных нормальных напряжений:

   • a: \(\sigma_{max} = 80\), \(\sigma_{min} = 30\) \(\tau_{max} = (80 - 30)/2 = 25\, \text{МПа}\)

   • b: \(\sigma_{max} = 110\), \(\sigma_{min} = 60\) \(\tau_{max} = (110 - 60)/2 = 25\, \text{МПа}\)

   • в: \(\sigma_{max} = 60\), \(\sigma_{min} = 50\) \(\tau_{max} = (60 - 50)/2 = 5\, \text{МПа}\)

5. Анализ полученных значений:

   • Варианты a и b имеют одинаковое максимальное касательное напряжение — 25 МПа.
   • Вариант в — только 5 МПа, что намного ниже.

6. Вывод:

   Согласно гипотезе Треска – Сен-Венана, наиболее опасным состоянием является то, где максимальное касательное напряжение достигает своего значения, так как это самый вероятный признак разрушения.

Ответ:

Наиболее опасными являются состояния а и б, так как у них максимальное касательное напряжение одинаковое и самое большое — 25 МПа. Следовательно, по условию в вопросе, наиболее опасной является состояние, где достигается максимум — это оба варианта а и б.

Однако в предложенных вариантах ответов есть только один — "б". Поэтому правильный ответ — б.

Ответ: б.