Давайте проанализируем каждое предложение и определим, в которых нужно поставить одну запятую.
- Род Лермонтовых происходил из Шотландии и восходил к полумифическому барду-пророку Томасу Лермонту.
— Это сложносочинённое предложение, состоящее из двух частей, связанных союзом «и». Связочный союз «и» не требует запятой в данном случае, так как части однородны и не разделены запятой внутри. Запятую ставить не нужно.
Вывод: в этом предложении запятую ставить не нужно.
- В пансионе юный поэт ищет родную душу, увлекается дружбой то с одним то с другим товарищем.
— Здесь отсутствует запятая перед «увлекается», так как это вторая часть сложносочинённого предложения. Между двумя простыми предложениями или их частями ставится запятая. В данном случае, вторая часть «увлекается дружбой то с одним то с другим товарищем» — это самостоятельное предложение или простая часть. Поэтому логично поставить запятую перед «увлекается».
Вывод: предложение №2 — нужно поставить одну запятую перед «увлекается».
- В отношениях с Натальей Фёдоровной Ивановой Лермонтова угнетает нежелание возлюбленной оценить насыщенность его духовной жизни и глубину его талантливой самобытной поэзии.
— В этом предложении однородные дополнения, соединённые союзом «и»: «насыщенность его духовной жизни и глубину его талантливой самобытной поэзии». В сложносочинённом предложении запятая перед однородными членами не ставится.
Вывод: запятая не нужна.
- Ни время ни расстояния не властны были над глубокими и чистыми чувствами молодого поэта.
— В этом предложении оба подлежащих соединены с помощью союза «ни… ни…», однородные подлежащие, запятая перед ними не ставится.
Вывод: запятую не нужно.
- Во время ссылки на Кавказ Лермонтов проявлял в боях и бесстрашие и мужество, рискуя жизнью.
— Здесь есть перечисление «в боях и бесстрашие и мужество», где «и» соединяет однородные члены, и перед «рискуя жизнью» — деепричастным оборотом, относящимся к всему сказуемому. Перед однородными членами (в боях, бесстрашие, мужество) запятая не ставится, за исключением, если нужно выделить выделительный элемент.
При этом стоит обратить вниманием, что союз «и» повторяется, и есть однородные части: «в боях», «бесстрашие» и «мужество». Обычно перед однородными членами, соединёнными однородными союзами, запятая не ставится, если они не выделяются обособлением. После «мужество» стоит деепричастный оборот «рискуя жизнью». Обычно такие обороты обособляются запятыми, если уточняют или добавляют информацию.
Здесь деепричастный оборот «рискуя жизнью» объясняет, как именно проявлял Лермонтов свою мужество — это обстоятельство, его следует выделить запятой.
Но запятая после «мужество» стоит, чтобы выделить деепричастный оборот. В вопросе же спрашивается — «указать предложения, в которых нужно поставить ОДНУ запятую».
В этом предложении — одна запятая перед «рискуя жизнью».
Вывод: предложение №5 — требует поставить одну запятую перед «рискуя жизнью».
Общий вывод:
Предложения, в которых нужно поставить одну запятую: №2 и №5.
Ответ: 2, 5