У двух групп спортсменов (nх =16, nу = 13), тренирующихся по различным методикам, были получены следующие статистические характеристики: = 13 с; = 14 с; = 0,41, = 0,39.Обе выборки…

Давайте подробно решим задачу, используя критерий Стьюддента для проверки гипотезы о равенстве средних двух групп.

Дано:

• Размеры выборок:
  • \( n_x = 16 \)
  • \( n_y = 13 \)
• Средние значения:
  • \( \bar{x} = 13 \) (показатели первой группы)
  • \( \bar{y} = 14 \) (показатели второй группы)
• Стандартные отклонения:
  • \( s_x = 13 \) с
  • \( s_y = 14 \) с
• Коэффициенты вариации (не обязательно для этого анализа, можно их не учитывать напрямую):
  • \( CV_x = 0,41 \)
  • \( CV_y = 0,39 \)

Итак, задача: с помощью критерия Стьюддена определить, есть ли статистически значимые различия между средними двух групп.

---

Шаг 1. Формулировка гипотез

• Нулевая гипотеза \( H_0 \): средние значения равны, т.е. \( \mu_x = \mu_y \)
• Альтернативная гипотеза \( H_1 \): средние значения не равны, \( \mu_x \neq \mu_y \)

Шаг 2. Расчет стандартной ошибки разницы средних

Поскольку выборки независимы, используем формулу для стандартной ошибки разницы средних:

\[ SE = \sqrt{\frac{s_x^2}{n_x} + \frac{s_y^2}{n_y}} \]

Подставим значения:

\[ SE = \sqrt{\frac{13^2}{16} + \frac{14^2}{13}} = \sqrt{\frac{169}{16} + \frac{196}{13}} \]

Вычислим каждое слагаемое:

\[ \frac{169}{16} = 10,5625 \] \[ \frac{196}{13} \approx 15,0769 \]

Теперь сложим и возьмем корень:

\[ SE = \sqrt{10,5625 + 15,0769} = \sqrt{25,6394} \approx 5,064 \]

---

Шаг 3. Расчет статистики t

Формула t:

\[ t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{SE} \]

Подставим значения:

\[ t = \frac{13 - 14}{5,064} = \frac{-1}{5,064} \approx -0,1975 \]

Шаг 4. Определение степени свободы

Степени свободы для независимых выборок:

\[ df = \frac{\left(\frac{s_x^2}{n_x} + \frac{s_y^2}{n_y}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_x^2}{n_x}\right)^2}{n_x - 1} + \frac{\left(\frac{s_y^2}{n_y}\right)^2}{n_y - 1}} \]

Подставляем:

\[ df = \frac{(10,5625 + 15,0769)^2}{\frac{(10,5625)^2}{15} + \frac{(15,0769)^2}{12}} \]

В числителе:

\[ (25,6394)^2 \approx 657,92 \]

В знаменателе:

\[ \frac{(10,5625)^2}{15} = \frac{111,58}{15} \approx 7,4387 \] \[ \frac{(15,0769)^2}{12} = \frac{226,88}{12} \approx 18,907 \]

Сумма:

\[ 7,4387 + 18,907 \approx 26,346 \]

Итак:

\[ df \approx \frac{657,92}{26,346} \approx 24,95 \approx 25 \]

Степень свободы примерно 25.

---

Шаг 5. Критическое значение и вывод

На уровне значимости \( \alpha = 0,05 \) для двустороннего теста и \( df \approx 25 \):

Значение критерия t из таблицы:

\[ t_{кр} \approx 2,06 \]

Наш расчет: \( t \approx -0,198 \), абсолютное значение — 0,198, что значительно меньше \( 2,06 \).

Вывод:

Поскольку расчетное значение t гораздо меньше критического, отвергаем нулевую гипотезу — статистически значимых различий между средними двух групп по уровню 0,05 не обнаружено.

---

Итог:

На основе критерия Стьюддена можно сделать вывод, что статистически достоверных различий в результатах этих групп нет.