Давайте подробно решим задачу, используя критерий Стьюддента для проверки гипотезы о равенстве средних двух групп.
Дано:
- Размеры выборок:
- ( n_x = 16 )
- ( n_y = 13 )
- Средние значения:
- ( \bar{x} = 13 ) (показатели первой группы)
- ( \bar{y} = 14 ) (показатели второй группы)
- Стандартные отклонения:
- ( s_x = 13 ) с
- ( s_y = 14 ) с
- Коэффициенты вариации (не обязательно для этого анализа, можно их не учитывать напрямую):
- ( CV_x = 0,41 )
- ( CV_y = 0,39 )
Итак, задача: с помощью критерия Стьюддена определить, есть ли статистически значимые различия между средними двух групп.
Шаг 1. Формулировка гипотез
- Нулевая гипотеза ( H_0 ): средние значения равны, т.е. ( \mu_x = \mu_y )
- Альтернативная гипотеза ( H_1 ): средние значения не равны, ( \mu_x \neq \mu_y )
Шаг 2. Расчет стандартной ошибки разницы средних
Поскольку выборки независимы, используем формулу для стандартной ошибки разницы средних:
[
SE = \sqrt{\frac{s_x^2}{n_x} + \frac{s_y^2}{n_y}}
]
Подставим значения:
[
SE = \sqrt{\frac{13^2}{16} + \frac{14^2}{13}} = \sqrt{\frac{169}{16} + \frac{196}{13}}
]
Вычислим каждое слагаемое:
[
\frac{169}{16} = 10,5625
]
[
\frac{196}{13} \approx 15,0769
]
Теперь сложим и возьмем корень:
[
SE = \sqrt{10,5625 + 15,0769} = \sqrt{25,6394} \approx 5,064
]
Шаг 3. Расчет статистики t
Формула t:
[
t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{SE}
]
Подставим значения:
[
t = \frac{13 - 14}{5,064} = \frac{-1}{5,064} \approx -0,1975
]
Шаг 4. Определение степени свободы
Степени свободы для независимых выборок:
[
df = \frac{\left(\frac{s_x^2}{n_x} + \frac{s_y^2}{n_y}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_x^2}{n_x}\right)^2}{n_x - 1} + \frac{\left(\frac{s_y^2}{n_y}\right)^2}{n_y - 1}}
]
Подставляем:
[
df = \frac{(10,5625 + 15,0769)^2}{\frac{(10,5625)^2}{15} + \frac{(15,0769)^2}{12}}
]
В числителе:
[
(25,6394)^2 \approx 657,92
]
В знаменателе:
[
\frac{(10,5625)^2}{15} = \frac{111,58}{15} \approx 7,4387
]
[
\frac{(15,0769)^2}{12} = \frac{226,88}{12} \approx 18,907
]
Сумма:
[
7,4387 + 18,907 \approx 26,346
]
Итак:
[
df \approx \frac{657,92}{26,346} \approx 24,95 \approx 25
]
Степень свободы примерно 25.
Шаг 5. Критическое значение и вывод
На уровне значимости ( \alpha = 0,05 ) для двустороннего теста и ( df \approx 25 ):
Значение критерия t из таблицы:
[
t_{кр} \approx 2,06
]
Наш расчет: ( t \approx -0,198 ), абсолютное значение — 0,198, что значительно меньше ( 2,06 ).
Вывод:
Поскольку расчетное значение t гораздо меньше критического, отвергаем нулевую гипотезу — статистически значимых различий между средними двух групп по уровню 0,05 не обнаружено.
Итог:
На основе критерия Стьюддена можно сделать вывод, что статистически достоверных различий в результатах этих групп нет.
