Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние (в км) квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. --- ### Общий обзор задачи: Нам нужно найти максимальное расстояние \(L\) (в км), на котором можно безопасно распространять квантовый ключ методом протокола B84 для шифрования голоса. Для этого используем параметры источника, канала, детекторов и требования по скорости ключа. --- ### Дано: - **Скорость генерации ключа:** \( R_{\text{ключ}} = 5\,\text{kбит/с} = 5000\,\textбит/с \) - **Частота лазерных импульсов:** \( f = 1\,\text{Гц} = 1\,\text{импульс/с} \) - **Фотон на импульс:** \( n_{ph} = 0.1 \) - **Потери в канале:** \( \alpha = 0.3\,\text{дБ/км} \) - **Эффективность детектора:** \( \eta_{det} = 10\% = 0.1 \) - **Пренебрегая темновым счетом и атаками.** --- ### Шаг 1. Определение числа фотонов, приходящих на детектор Поскольку источник генерирует \(n_{ph} = 0.1\) фотон на импульс при частоте \(f = 1\,Гц\), то: \[ \text{Общее число фотонов в секунду} = n_{ph} \times f = 0.1 \times 1 = 0.1\,\text{фотон/с} \] Но для того, чтобы понять, сколько фотонов доходит до детектора после прохождения канала на расстоянии \(L\) км, нужно учесть потери. --- ### Шаг 2. Потери в канале Потери задаются в дБ/км, поэтому найдем коэффициент потерь в линейных величинах. Потеря в дБ для расстояния \(L\) км: \[ \Gamma_{dB} = \alpha \times L \] Перевод дБ в отношение мощности: \[ T_{loss} = 10^{-\Gamma_{dB}/10} = 10^{-\alpha L / 10} \] Подставляем \(\alpha = 0.3\,\text{дБ/км}\): \[ T_{loss} = 10^{-0.3 L / 10} = 10^{-0.03 L} \] --- ### Шаг 3. Количество фотонов, достигших детектора Мощность фотонного потока после потерь: \[ n_{ph}^{detected} = n_{ph} \times T_{loss} \times \eta_{det} \] Поскольку в каждом импульсе есть 0.1 фотон, то за один импульс приходят: \[ p_{detect} = 0.1 \times 10^{-0.03 L} \times 0.1 = 0.01 \times 10^{-0.03 L} \] --- ### Шаг 4. Требование по скорости ключа Чтобы обеспечить скорость \( R_{key} = 5000\,\textбит/с \), необходимо, чтобы количество успешных срабатываний детектора за секунду было равно \( R_{key} \). Поскольку в каждом импульсе есть вероятность обнаружить фотон — она равна \( p_{detect} \), то: \[ \text{Среднее число detected photons в секунду} = f \times p_{detect} = 1 \times 0.01 \times 10^{-0.03 L} = 0.01 \times 10^{-0.03 L} \] Чтобы получить \( R_{key} = 5000 \) бит, при использовании протокола B84, каждый обнаруженный фотон может обеспечить один бит (условно). Тогда: \[ \text{Общее число выделенных бит} = \text{число обнаруженных фотонов за секунду} \approx R_{key} \] Это значит, что: \[ 0.01 \times 10^{-0.03 L} \geq R_{key} = 5000 \] Это условие неправильно — потому что число фотонов на секунду не может быть больше 1 (ведь излучение — 1 фотон в секунду). Следовательно, мы делаем предположение, что скорость возникновения успешных detections должна быть достаточной для поддержания скоросто шифрования, а именно: \[ \text{Количество detected photons в секунду} \times \text{битовая эффективность} \geq R_{key} \] Поскольку в данной задаче не указана битовая эффективность, будем предполагать, что каждый обнаруженный фотон можно использовать для 1 бита. --- ### Шаг 5. Следовательно, для получения 5000 бит в секунду: \[ p_{detect} \times f \geq R_{key} \implies 0.01 \times 10^{-0.03 L} \geq 5000 \] Но правая часть очень велика — это значит, что вероятность обнаружения фотона за импульс должна быть очень высокой, что невозможно при так малых значениях. --- ### Альтернативный подход: Рассматривая, что количество фотонов в секунду всего 0.1, а для получения 5000 бит/с необходимо 5000 успешных detections — нереально. Но тут важное замечание — исходная формулировка говорит о **скорости генерации ключа (5 кбит/с)** и **частоте импульсов (1 Гц)**. Выходит, что: - за 1 секунду мы можем создать максимум 1 импульс (так как частота 1 Гц), а дальше — либо используем параллельные каналы, либо что-то иное. Поскольку в задаче указано только одна цепочка импульсов с частотой 1 Гц, то максимальная скорость передачи данных: \[ \text{Потенциальная скорость} = \text{частота} \times \text{бит/импульс} \] Пусть для безопасности каждого импульса используется 1 бит — тогда максимальная скорость: \[ R_{max} = 1\,\text{бит/с} \] Что меньше, чем требуемые 5000 бит/с. Значит, при данных параметрах невозможно обеспечить скорость в 5000 бит/с при использовании одних только импульсов. --- ### Итог: что делать? - Для шифрования со скоростью 5 кбит/с при частоте 1 Гц необходимо каким-то образом увеличивать число переданных бит (например, использовать более сложные схемы модуляции или увеличить битовую нагрузку в каждом импульсе). - Также требуются более выгодные параметры источника или приемов. --- ### Ответ: Исходя из всех расчетов и предположений, **максимальное расстояние L**, при котором можно обеспечить требуемую скорость, определяется тем, что: \[ p_{detect} \times f \geq R_{key} \] \[ 0.01 \times 10^{-0.03 L} \times 1 \geq 5000 \] \[ 10^{-0.03 L} \geq 500000 \] Это невозможно, так как \(10^{-0.03 L} \leq 1\), и не может быть больше 1. ### Итоговая формулировка: **При заданных параметрах (с учетом частоты 1 Гц и фотонного потока 0.1 фотона на импульс) обеспечивать скорость в 5 кбит/с невозможно ни на каком расстоянии.** --- ### **Если предположить, что красочным примером — наименьшее возможное расстояние — это нулевое, то максимально возможное расстояние в теории равно 0 км.** --- ## Итоговое решение: ### В соответствии с расчетами, при данных параметрах обеспечить протокол B84 для скорости 5 кбит/с по голосу невозможно на любом значимом расстоянии, так как количество фотонов и вероятность их обнаружения недостаточны. --- Если нужен более точный вывод или дополнительные данные — уточняйте!