Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат…
Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние (в км) квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Общий обзор задачи:
Нам нужно найти максимальное расстояние \(L\) (в км), на котором можно безопасно распространять квантовый ключ методом протокола B84 для шифрования голоса. Для этого используем параметры источника, канала, детекторов и требования по скорости ключа.
Дано:
- Скорость генерации ключа: \( R_{\text{ключ}} = 5\,\text{kбит/с} = 5000\,\textбит/с \)
- Частота лазерных импульсов: \( f = 1\,\text{Гц} = 1\,\text{импульс/с} \)
- Фотон на импульс: \( n_{ph} = 0.1 \)
- Потери в канале: \( \alpha = 0.3\,\text{дБ/км} \)
- Эффективность детектора: \( \eta_{det} = 10\% = 0.1 \)
- Пренебрегая темновым счетом и атаками.
Шаг 1. Определение числа фотонов, приходящих на детектор
Поскольку источник генерирует \(n_{ph} = 0.1\) фотон на импульс при частоте \(f = 1\,Гц\), то: \[ \text{Общее число фотонов в секунду} = n_{ph} \times f = 0.1 \times 1 = 0.1\,\text{фотон/с} \]
Но для того, чтобы понять, сколько фотонов доходит до детектора после прохождения канала на расстоянии \(L\) км, нужно учесть потери.
Шаг 2. Потери в канале
Потери задаются в дБ/км, поэтому найдем коэффициент потерь в линейных величинах.
Потеря в дБ для расстояния \(L\) км: \[ \Gamma_{dB} = \alpha \times L \]
Перевод дБ в отношение мощности: \[ T_{loss} = 10^{-\Gamma_{dB}/10} = 10^{-\alpha L / 10} \]
Подставляем \(\alpha = 0.3\,\text{дБ/км}\): \[ T_{loss} = 10^{-0.3 L / 10} = 10^{-0.03 L} \]
Шаг 3. Количество фотонов, достигших детектора
Мощность фотонного потока после потерь: \[ n_{ph}^{detected} = n_{ph} \times T_{loss} \times \eta_{det} \]
Поскольку в каждом импульсе есть 0.1 фотон, то за один импульс приходят:
\[ p_{detect} = 0.1 \times 10^{-0.03 L} \times 0.1 = 0.01 \times 10^{-0.03 L} \]
Шаг 4. Требование по скорости ключа
Чтобы обеспечить скорость \( R_{key} = 5000\,\textбит/с \), необходимо, чтобы количество успешных срабатываний детектора за секунду было равно \( R_{key} \).
Поскольку в каждом импульсе есть вероятность обнаружить фотон — она равна \( p_{detect} \), то:
\[ \text{Среднее число detected photons в секунду} = f \times p_{detect} = 1 \times 0.01 \times 10^{-0.03 L} = 0.01 \times 10^{-0.03 L} \]
Чтобы получить \( R_{key} = 5000 \) бит, при использовании протокола B84, каждый обнаруженный фотон может обеспечить один бит (условно). Тогда:
\[ \text{Общее число выделенных бит} = \text{число обнаруженных фотонов за секунду} \approx R_{key} \]
Это значит, что:
\[ 0.01 \times 10^{-0.03 L} \geq R_{key} = 5000 \]
Это условие неправильно — потому что число фотонов на секунду не может быть больше 1 (ведь излучение — 1 фотон в секунду). Следовательно, мы делаем предположение, что скорость возникновения успешных detections должна быть достаточной для поддержания скоросто шифрования, а именно:
\[ \text{Количество detected photons в секунду} \times \text{битовая эффективность} \geq R_{key} \]
Поскольку в данной задаче не указана битовая эффективность, будем предполагать, что каждый обнаруженный фотон можно использовать для 1 бита.
Шаг 5. Следовательно, для получения 5000 бит в секунду:
\[ p_{detect} \times f \geq R_{key} \implies 0.01 \times 10^{-0.03 L} \geq 5000 \]
Но правая часть очень велика — это значит, что вероятность обнаружения фотона за импульс должна быть очень высокой, что невозможно при так малых значениях.
Альтернативный подход:
Рассматривая, что количество фотонов в секунду всего 0.1, а для получения 5000 бит/с необходимо 5000 успешных detections — нереально.
Но тут важное замечание — исходная формулировка говорит о скорости генерации ключа (5 кбит/с) и частоте импульсов (1 Гц).
Выходит, что:
- за 1 секунду мы можем создать максимум 1 импульс (так как частота 1 Гц), а дальше — либо используем параллельные каналы, либо что-то иное.
Поскольку в задаче указано только одна цепочка импульсов с частотой 1 Гц, то максимальная скорость передачи данных:
\[ \text{Потенциальная скорость} = \text{частота} \times \text{бит/импульс} \]
Пусть для безопасности каждого импульса используется 1 бит — тогда максимальная скорость:
\[ R_{max} = 1\,\text{бит/с} \]
Что меньше, чем требуемые 5000 бит/с. Значит, при данных параметрах невозможно обеспечить скорость в 5000 бит/с при использовании одних только импульсов.
Итог: что делать?
- Для шифрования со скоростью 5 кбит/с при частоте 1 Гц необходимо каким-то образом увеличивать число переданных бит (например, использовать более сложные схемы модуляции или увеличить битовую нагрузку в каждом импульсе).
- Также требуются более выгодные параметры источника или приемов.
Ответ:
Исходя из всех расчетов и предположений, максимальное расстояние L, при котором можно обеспечить требуемую скорость, определяется тем, что:
\[ p_{detect} \times f \geq R_{key} \] \[ 0.01 \times 10^{-0.03 L} \times 1 \geq 5000 \] \[ 10^{-0.03 L} \geq 500000 \]
Это невозможно, так как \(10^{-0.03 L} \leq 1\), и не может быть больше 1.
Итоговая формулировка:
При заданных параметрах (с учетом частоты 1 Гц и фотонного потока 0.1 фотона на импульс) обеспечивать скорость в 5 кбит/с невозможно ни на каком расстоянии.
Если предположить, что красочным примером — наименьшее возможное расстояние — это нулевое, то максимально возможное расстояние в теории равно 0 км.
Итоговое решение:
В соответствии с расчетами, при данных параметрах обеспечить протокол B84 для скорости 5 кбит/с по голосу невозможно на любом значимом расстоянии, так как количество фотонов и вероятность их обнаружения недостаточны.
Если нужен более точный вывод или дополнительные данные — уточняйте!
