Давайте решим задачу, предполагая, что вероятность успеха в каждом отдельном ходе равна 0,05% (или 0,0005 в виде десятичной дроби). Нам нужно определить, сколько попыток потребуется, чтобы с высокой вероятностью получить хотя бы один успех.
Обозначим:
- ( p = 0,0005 ) — вероятность успеха в одной попытке.
- ( n ) — количество попыток.
- ( P(\text{не получить успех ни разу}) = (1 - p)^n ).
Чтобы найти минимальное число попыток, необходимое для достижения определённой вероятности хотя бы одного успеха, например, 95% (1 - 0,05), используем следующую формулу:
[ P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - (1 - p)^n ]
Требуется:
[ 1 - (1 - p)^n \geq 0,95 ]
[ (1 - p)^n \leq 0,05 ]
Теперь подставляем ( p = 0,0005 ):
[ (1 - 0,0005)^n \leq 0,05 ]
Рассчитаем:
[ (0,9995)^n \leq 0,05 ]
Теперь берем натуральный логарифм обеих частей:
[ \ln( (0,9995)^n ) \leq \ln(0,05) ]
[ n \cdot \ln(0,9995) \leq \ln(0,05) ]
обратим внимание, что ( \ln(0,9995) ) — отрицательное число, поэтому при делении знак не меняется, а результат будет положительным.
Рассчитаем:
[ \ln(0,9995) \approx -0,0005 ]
[ \ln(0,05) \approx -2,9957 ]
Таким образом:
[ n \cdot (-0,0005) \leq -2,9957 ]
[ n \geq \frac{-2,9957}{-0,0005} ]
[ n \geq 5,9914 \times 10^{3} ]
[ n \geq 5991 ]
Ответ: потребуется примерно 5991 попытка, чтобы с вероятностью не менее 95% получить хотя бы один успех при вероятности успеха 0,05% в каждой попытке.
Если ты хочешь достичь другого уровня вероятности, например, 99%, просто подставь соответствующее число вместо 0,05 в формулу.
