Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Потребительская функция: ( C = 700 + 0,8(Y - T) )
- Инвестиции: ( I = 500 )
- Государственные закупки: ( G = 600 )
- Налоговая функция: ( T = 10 + 0,15Y )
Цель: Найти мультипликатор автономных расходов ( mult_{е} ).
Шаг 1. Записываем общий уровень расходов (совокупный спрос) ( Z ):
[
Z = C + I + G
]
Поскольку в закрытой экономике, равной доходу ( Y ), равенего совокупным расходам ( Z ), то:
[
Y = C + I + G
]
Подставляем выражение для ( C ):
[
Y = (700 + 0,8(Y - T)) + 500 + 600
]
Шаг 2. Вводим выражение для ( T ):
[
T = 10 + 0,15Y
]
Подставляем ( T ) в уравнение:
[
Y = 700 + 0,8(Y - (10 + 0,15Y)) + 500 + 600
]
Раскроем скобки внутри ( 0,8(...) ):
[
Y = 700 + 0,8(Y - 10 - 0,15Y) + 500 + 600
]
Шаг 3. Раскроем скобки:
[
Y = 700 + 0,8Y - 0,8 \times 10 - 0,8 \times 0,15Y + 500 + 600
]
Посчитаем произведения:
[
Y = 700 + 0,8Y - 8 - 0,12Y + 500 + 600
]
Шаг 4. Объединим подобные слагаемые:
Собираем константы:
[
700 - 8 + 500 + 600 = 700 + 500 + 600 - 8 = 1800 - 8 = 1792
]
Объединяем коэффициенты при ( Y ):
[
0,8Y - 0,12Y = 0,68Y
]
Теперь уравнение выглядит так:
[
Y = 1792 + 0,68Y
]
Шаг 5. Решим уравнение относительно ( Y ):
Переносим все ( Y ) в левую сторону:
[
Y - 0,68Y = 1792
]
[
(1 - 0,68)Y = 1792
]
[
0,32Y = 1792
]
Рассчитаем ( Y ):
[
Y = \frac{1792}{0,32} = 5600
]
Шаг 6. Определим автономные расходы ( A ):
Автономные расходы — это сумма расходов, которые не зависят от дохода ( Y ). В модели это сумма постоянных составляющих в потребительской функции и инвестиции и госсредства:
[
A = C_{независимая} + I + G
]
Из потребительской функции ( C = 700 + 0,8(Y - T) ), постоянная часть — это 700, а также инвестиции и расходы G:
[
A = 700 + 500 + 600 = 1800
]
Шаг 7. Найдём мультипликационный коэффициент автономных расходов ( mult_{е} ):
Мультипликатор автономных расходов для закрытой экономики с налогами рассчитывается по формуле:
[
mult_{е} = \frac{1}{1 - MPC \times (1 - t)}
]
где:
- ( MPC = 0,8 ) — предельная склонность к потреблению,
- ( t ) — средний налоговый коэффициент.
Найдём ( t ): средний налоговый коэффициент — это соотношение налогов к доходу:
[
t = \frac{T}{Y}
]
На равновесном уровне дохода:
[
T = 10 + 0,15Y
]
Подставляем ( Y = 5600 ):
[
T = 10 + 0,15 \times 5600 = 10 + 840 = 850
]
Тогда:
[
t = \frac{850}{5600} \approx 0,1518
]
Подставляем в формулу:
[
mult_{е} = \frac{1}{1 - 0,8 \times (1 - 0,1518)} = \frac{1}{1 - 0,8 \times 0,8482}
]
Расчёт:
[
0,8 \times 0,8482 \approx 0,6786
]
Следовательно,
[
mult_{е} = \frac{1}{1 - 0,6786} = \frac{1}{0,3214} \approx 3,112
]
Ответ:
Мультипликатор автономных расходов ( mult_{е} ) примерно равен 3,112 (округленный до трех знаков после запятой).
