Входной контур радиоприемника состоит изкатушки с индуктивностью L = 2 мГн и плоского конденсатора с площадью пластин S = 10 см2 и расстоянием между ними d = 2 мм. Пространство между пластинами заполнено слюдой с диэлектрической проницаемостью ε =7,5. На какую длину волны настроен радиоприемник?

Давайте шаг за шагом решим задачу о настройке радиоприемника, чтобы определить длину волны, на которую настроен контур. В контуре у нас есть катушка индуктивности и конденсатор, заполненный слюдой. ### Шаг 1. Вспомогательные данные и формулы - Индуктивность катушки: \( L = 2\,\text{мГн} = 2 \times 10^{-3} \text{ Гн} \) - Площадь пластин конденсатора: \( S = 10\,\text{см}^2 = 10 \times 10^{-4}\,\text{м}^2 = 10^{-3}\,\text{м}^2 \) - Расстояние между пластинами: \( d = 2\,\textмм} = 2 \times 10^{-3}\,\text{м} \) - Диэлектрическая проницаемость слюды: \( \varepsilon = 7,5 \) Формула для ёмкости плоского конденсатора с диэлектриком: \[ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d} \] где: - \( \varepsilon_0 = 8,854 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м} \) — электрическая постоянная. Длина волны в резонансном контуре связана с частотой: \[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}} \] и длина волны: \[ \lambda = \frac{c}{f} \] где \( c = 3 \times 10^8\,\text{м/с} \) — скорость света. --- ### Шаг 2. Расчёт ёмкости конденсатора Подставим значения в формулу для \( C \): \[ C = \frac{8,854 \times 10^{-12} \times 7,5 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} \] Посчитаем числитель: \[ 8,854 \times 10^{-12} \times 7,5 \times 10^{-3} = 8,854 \times 7,5 \times 10^{-15} = (8,854 \times 7,5) \times 10^{-15} \] Вычислим \( 8,854 \times 7,5 \): \[ 8,854 \times 7,5 = 66,405 \] Следовательно, \[ C = \frac{66,405 \times 10^{-15}}{2 \times 10^{-3}} = \frac{66,405 \times 10^{-15}}{2 \times 10^{-3}} \] Деление на \(2 \times 10^{-3}\) равносильно умножению на \(\frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500\): \[ C = 66,405 \times 10^{-15} \times 500 = 66,405 \times 500 \times 10^{-15} \] Вычислим \( 66,405 \times 500 \): \[ 66,405 \times 500 = 66,405 \times 5 \times 100 = (66,405 \times 5) \times 100 \] \(66,405 \times 5 = 332,025 \) Следовательно: \[ C = 332,025 \times 100 \times 10^{-15} = 33,2025 \times 10^{-12}\, \text{Ф} \] Итак, \[ \boxed{ C \approx 3.32 \times 10^{-11}\, \text{Ф} } \] --- ### Шаг 3. Расчёт резонансной частоты \(f\) Теперь найдём \(f\): \[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}} \] Подставим \(L = 2 \times 10^{-3}\) Гн, \(C = 3.32 \times 10^{-11}\) Ф: \[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{(2 \times 10^{-3}) \times (3.32 \times 10^{-11})}} \] Посчитаем подкоренное выражение: \[ (2 \times 10^{-3}) \times (3.32 \times 10^{-11}) = 2 \times 3.32 \times 10^{-3 - 11} = 6.64 \times 10^{-14} \] Вычислим корень: \[ \sqrt{6.64 \times 10^{-14}} = \sqrt{6.64} \times 10^{-7} \] Квадратный корень из 6.64 примерно равен 2.58: \[ \sqrt{6.64} \approx 2.58 \] Итак: \[ \sqrt{L C} \approx 2.58 \times 10^{-7} \] Теперь посчитаем частоту: \[ f = \frac{1}{2\pi \times 2.58 \times 10^{-7}} \] В числителе просто \(1\). В знаменателе: \[ 2\pi \times 2.58 \times 10^{-7} \approx 6.2832 \times 2.58 \times 10^{-7} \] Посчитаем \(6.2832 \times 2.58\): \[ 6.2832 \times 2.58 \approx 16.21 \] Тогда \[ f \approx \frac{1}{16.21 \times 10^{-7}} = \frac{1}{1.621 \times 10^{-6}} \] Чтобы найти значение: \[ f \approx \frac{1}{1.621 \times 10^{-6}} \approx \frac{10^{6}}{1.621} \approx 617,000\,\text{Гц} \] ### Шаг 4. Длина волны Длина волны: \[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^{8}\,\text{м/с}}{6.17 \times 10^{5}\,\text{Гц}} \approx 486 \,\text{м} \] --- ### **Ответ:** Радиоприемник настроен на волну длиной примерно **486 метров**.