Входной контур радиоприемника состоит изкатушки с индуктивностью L = 2 мГн и плоского конденсатора с площадью пластин S = 10 см2 и расстоянием между ними d = 2 мм. Пространство…

Давайте шаг за шагом решим задачу о настройке радиоприемника, чтобы определить длину волны, на которую настроен контур. В контуре у нас есть катушка индуктивности и конденсатор, заполненный слюдой.

Шаг 1. Вспомогательные данные и формулы

• Индуктивность катушки: \( L = 2\,\text{мГн} = 2 \times 10^{-3} \text{ Гн} \)
• Площадь пластин конденсатора: \( S = 10\,\text{см}^2 = 10 \times 10^{-4}\,\text{м}^2 = 10^{-3}\,\text{м}^2 \)
• Расстояние между пластинами: \( d = 2\,\textмм} = 2 \times 10^{-3}\,\text{м} \)
• Диэлектрическая проницаемость слюды: \( \varepsilon = 7,5 \)

Формула для ёмкости плоского конденсатора с диэлектриком:

\[ C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d} \]

где:

• \( \varepsilon_0 = 8,854 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м} \) — электрическая постоянная.

Длина волны в резонансном контуре связана с частотой:

\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}} \]

и длина волны:

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

где \( c = 3 \times 10^8\,\text{м/с} \) — скорость света.

---

Шаг 2. Расчёт ёмкости конденсатора

Подставим значения в формулу для \( C \):

\[ C = \frac{8,854 \times 10^{-12} \times 7,5 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} \]

Посчитаем числитель:

\[ 8,854 \times 10^{-12} \times 7,5 \times 10^{-3} = 8,854 \times 7,5 \times 10^{-15} = (8,854 \times 7,5) \times 10^{-15} \]

Вычислим \( 8,854 \times 7,5 \):

\[ 8,854 \times 7,5 = 66,405 \]

Следовательно,

\[ C = \frac{66,405 \times 10^{-15}}{2 \times 10^{-3}} = \frac{66,405 \times 10^{-15}}{2 \times 10^{-3}} \]

Деление на \(2 \times 10^{-3}\) равносильно умножению на \(\frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500\):

\[ C = 66,405 \times 10^{-15} \times 500 = 66,405 \times 500 \times 10^{-15} \]

Вычислим \( 66,405 \times 500 \):

\[ 66,405 \times 500 = 66,405 \times 5 \times 100 = (66,405 \times 5) \times 100 \]

\(66,405 \times 5 = 332,025 \)

Следовательно:

\[ C = 332,025 \times 100 \times 10^{-15} = 33,2025 \times 10^{-12}\, \text{Ф} \]

Итак,

\[ \boxed{ C \approx 3.32 \times 10^{-11}\, \text{Ф} } \]

---

Шаг 3. Расчёт резонансной частоты \(f\)

Теперь найдём \(f\):

\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}} \]

Подставим \(L = 2 \times 10^{-3}\) Гн, \(C = 3.32 \times 10^{-11}\) Ф:

\[ f = \frac{1}{2\pi \sqrt{(2 \times 10^{-3}) \times (3.32 \times 10^{-11})}} \]

Посчитаем подкоренное выражение:

\[ (2 \times 10^{-3}) \times (3.32 \times 10^{-11}) = 2 \times 3.32 \times 10^{-3 - 11} = 6.64 \times 10^{-14} \]

Вычислим корень:

\[ \sqrt{6.64 \times 10^{-14}} = \sqrt{6.64} \times 10^{-7} \]

Квадратный корень из 6.64 примерно равен 2.58:

\[ \sqrt{6.64} \approx 2.58 \]

Итак:

\[ \sqrt{L C} \approx 2.58 \times 10^{-7} \]

Теперь посчитаем частоту:

\[ f = \frac{1}{2\pi \times 2.58 \times 10^{-7}} \]

В числителе просто \(1\). В знаменателе:

\[ 2\pi \times 2.58 \times 10^{-7} \approx 6.2832 \times 2.58 \times 10^{-7} \]

Посчитаем \(6.2832 \times 2.58\):

\[ 6.2832 \times 2.58 \approx 16.21 \]

Тогда

\[ f \approx \frac{1}{16.21 \times 10^{-7}} = \frac{1}{1.621 \times 10^{-6}} \]

Чтобы найти значение:

\[ f \approx \frac{1}{1.621 \times 10^{-6}} \approx \frac{10^{6}}{1.621} \approx 617,000\,\text{Гц} \]

Шаг 4. Длина волны

Длина волны:

\[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^{8}\,\text{м/с}}{6.17 \times 10^{5}\,\text{Гц}} \approx 486 \,\text{м} \]

---

Ответ:

Радиоприемник настроен на волну длиной примерно 486 метров.