Ученики 6А класса устроили новогоднее чаепитие. Для него купили две одинаковые пачки вафель. Если раздать вафли ученикам поровну, то останется 1 лишняя вафля. Если бы купили не…
Ученики 6А класса устроили новогоднее чаепитие. Для него купили две одинаковые пачки вафель. Если раздать вафли ученикам поровну, то останется 1 лишняя вафля. Если бы купили не две пачки, а пять пачек вафель и раздали бы всем поровну, то остались бу лишними 14 вафель. Сколько учеников в 6А классе?
Давайте разберём задачу по шагам.
Обозначим:
- Пусть \( x \) — количество учеников в классе 6А.
- Пусть \( N \) — количество вафель в одной пачке.
Из условия:
Когда раздают вафли двумя одинаковыми пачками, при делении на \( x \) остается 1 лишняя вафля: \[ 2N \equiv 1 \pmod{x} \] или \[ 2N = kx + 1 \quad \text{(для некоторого целого k)} \]
Когда раздают пять пачек вафель, при делении на \( x \) остается 14 лишних вафель: \[ 5N \equiv 14 \pmod{x} \] или \[ 5N = m x + 14 \quad \text{(для другого целого m)} \]
Задачу можно упростить, выражая \( N \) из первого уравнения:
\[ 2N = kx + 1 \implies N = \frac{k x + 1}{2} \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ 5N = 5 \cdot \frac{k x + 1}{2} = m x + 14 \]
Перепишем:
\[ \frac{5k x + 5}{2} = m x + 14 \]
Умножим обе части на 2:
\[ 5k x + 5 = 2 m x + 28 \]
Перегруппируем:
\[ 5k x - 2 m x = 28 - 5 \] \[ x (5k - 2m) = 23 \]
Поскольку \( x \) — целое число, а 23 — простое число, то есть делится только на 1 и на 23, следовательно:
\[ x \mid 23 \]
и
\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = 23 \]
Проверим эти варианты:
При \( x=1 \):
Тогда из первого уравнения:
\[ 2N = k \cdot 1 + 1 \implies 2N = k + 1 \]
Так как \( N \) — целое, \( k+1 \) — четное число, значит \( k \) — нечётное. Пусть \( k=1 \), тогда:
\[ 2N=1+1=2 \implies N=1 \]
Проверим во втором уравнении:
\[ 5N = m \cdot 1 + 14 \implies 5 \cdot 1= m +14 \implies 5 = m +14 \implies m=-9 \]
Это противоречит тому, что количество вафель не может быть отрицательным, следовательно, \( x=1 \) не подходит.
При \( x=23 \):
Из первого уравнения:
\[ 2N = k \cdot 23 + 1 \implies N= \frac{23k + 1}{2} \]
\( N \) должно быть целым, значит \( 23k + 1 \) — чётное число. Поскольку 23 — нечётное, то чтобы сумма была чётной, \( k \) должно быть нечётным. Пусть \( k=1 \):
\[ N= \frac{23 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]
Проверим во втором уравнении:
\[ 5N = m \cdot 23 + 14 \Rightarrow 5 \times 12= m \times 23 +14 \Rightarrow 60= 23 m + 14 \]
\[ 23 m = 60 -14=46 \implies m=2 \]
Целое число! Значит, это решение подходит.
Значит:
- Количество учеников \( x=23 \),
- Количество вафель в пачке \( N=12 \).
Проверим ещё раз корректность:
Две пачки: \( 2N=24 \), делим на \( 23 \): \[ 24 \div 23=1 \text{ деление с остатком } 1, \] что соответствует условию.
Пять пачек: \( 5N=60 \), делим на \( 23 \): \[ 60 \div 23=2 \text{ деления с остатком } 14, \] что тоже верно.
Итог:
Количество учеников в классе 6А — 23.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, обращайтесь!
