Давайте решим задачу по шагам с объяснениями.
Задача:
Декоративной изгородью длиной 36 метров нужно огородить с трёх сторон прямоугольную клумбу так, чтобы площадь клумбы была максимальной. Нужно найти размеры этой клумбы.
1. Введение и обозначения
Обозначим:
- ( x ) — длину клумбы по одному из её размеров (например, по длине),
- ( y ) — ширину клумбы по другой стороне.
Поскольку огорожены только три стороны, мы можем предположить, что:
- две стороны — длины ( x ),
- одна сторона — ширина ( y ).
Длина изгороди составляет 36 м, и она ограждает:
- два отрезка по ( x ) (по двум сторонам клумбы),
- один отрезок по ( y ).
Итак, формула длины ограды:
[
2x + y = 36 \quad \text{(1)}
]
2. Цель задачи
Нам нужно максимизировать площадь клумбы:
[
S = x \times y
]
Выразим ( y ) из уравнения (1):
[
y = 36 - 2x
]
Тогда площадь:
[
S(x) = x \times (36 - 2x) = 36x - 2x^2
]
3. Получение функции для площади
Мы получаем квадратичную функцию:
[
S(x) = -2x^2 + 36x
]
Квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при ( x^2 ) — это «усечённая» парабола, максимум которой достигается при определённом значении ( x ). Для её нахождения используем формулу вершины параболы:
[
x_{max} = -\frac{b}{2a}
]
где в нашей функции:
Подставим:
[
x_{max} = -\frac{36}{2 \times (-2)} = -\frac{36}{-4} = 9
]
4. Находим ( y )
Подставим ( x = 9 ) в уравнение (1):
[
y = 36 - 2 \times 9 = 36 - 18 = 18
]
5. Итоговые размеры
- Длина клумбы по одному из измерений: ( \boxed{9,\м} ),
- Ширина клумбы: ( \boxed{18,\м} ).
6. Проверка
Площадь при этих размерах:
[
S_{max} = 9 \times 18 = 162,\ м^2
]
Ответ:
Максимальная площадь клумбы — 162 квадратных метра, при размерах:
- длина — 9 м,
- ширина — 18 м.
