Декоративной изгородью длиной 36 м нужно огородить с трёх сторон прямоугольную клумбу наибольшей площади. Найдите размеры этой клумбы

Давайте решим задачу по шагам с объяснениями.

Задача:
Декоративной изгородью длиной 36 метров нужно огородить с трёх сторон прямоугольную клумбу так, чтобы площадь клумбы была максимальной. Нужно найти размеры этой клумбы.

1. Введение и обозначения

Обозначим:

• \( x \) — длину клумбы по одному из её размеров (например, по длине),
• \( y \) — ширину клумбы по другой стороне.

Поскольку огорожены только три стороны, мы можем предположить, что:

• две стороны — длины \( x \),
• одна сторона — ширина \( y \).

Длина изгороди составляет 36 м, и она ограждает:

• два отрезка по \( x \) (по двум сторонам клумбы),
• один отрезок по \( y \).

Итак, формула длины ограды: \[ 2x + y = 36 \quad \text{(1)} \]

2. Цель задачи

Нам нужно максимизировать площадь клумбы: \[ S = x \times y \]

Выразим \( y \) из уравнения (1): \[ y = 36 - 2x \]

Тогда площадь: \[ S(x) = x \times (36 - 2x) = 36x - 2x^2 \]

3. Получение функции для площади

Мы получаем квадратичную функцию: \[ S(x) = -2x^2 + 36x \]

Квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при \( x^2 \) — это «усечённая» парабола, максимум которой достигается при определённом значении \( x \). Для её нахождения используем формулу вершины параболы: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]

где в нашей функции:

• \( a = -2 \),
• \( b = 36 \).

Подставим: \[ x_{max} = -\frac{36}{2 \times (-2)} = -\frac{36}{-4} = 9 \]

4. Находим \( y \)

Подставим \( x = 9 \) в уравнение (1): \[ y = 36 - 2 \times 9 = 36 - 18 = 18 \]

5. Итоговые размеры

• Длина клумбы по одному из измерений: \( \boxed{9\,\м} \),
• Ширина клумбы: \( \boxed{18\,\м} \).

6. Проверка

Площадь при этих размерах: \[ S_{max} = 9 \times 18 = 162\,\ м^2 \]

Ответ:

Максимальная площадь клумбы — 162 квадратных метра, при размерах:

• длина — 9 м,
• ширина — 18 м.