вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x2 и y=4x

Давайте решим задачу поэтапно.

Дано:

• Графики двух линий:
  • \( y = x^2 \)
  • \( y = 4x \)

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

Шаг 1. Найдём точки пересечения линий

Приравниваем: \[ x^2 = 4x \] \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \]

Отсюда: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]

Для \(x=0\), \( y=0 \).

Для \(x=4\), \( y=16 \).

Шаг 2. Построение области и интеграл

Область ограничена с \(x=0\) до \(x=4\). В этих точках верхняя и нижняя граница по значению \( y \):

• Верхняя: \( y=4x \) (поскольку график прямо над параболой между 0 и 4)
• Нижняя: \( y=x^2 \)

Следовательно, площадь \(S\):

\[ S = \int_{0}^{4} \left( 4x - x^2 \right) dx \]

Шаг 3. Вычисление интеграла

Рассчитаем:

\[ S = \int_{0}^{4} 4x\, dx - \int_{0}^{4} x^2\, dx \]

\[ S = \left[ 2x^2 \right]_0^{4} - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{4} \]

Подставляем пределы:

\[ S = 2 \times 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2 \times 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ S = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{32}{3} } \]

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = 4x \), равна \( \frac{32}{3} \) единиц площади.