Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x2 и y=4x

Давайте решим задачу поэтапно. **Дано:** - Графики двух линий: - \( y = x^2 \) - \( y = 4x \) **Задача:** найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. --- ### Шаг 1. Найдём точки пересечения линий Приравниваем: \[ x^2 = 4x \] \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \] Отсюда: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] Для \(x=0\), \( y=0 \). Для \(x=4\), \( y=16 \). --- ### Шаг 2. Построение области и интеграл Область ограничена с \(x=0\) до \(x=4\). В этих точках верхняя и нижняя граница по значению \( y \): - Верхняя: \( y=4x \) (поскольку график прямо над параболой между 0 и 4) - Нижняя: \( y=x^2 \) Следовательно, площадь \(S\): \[ S = \int_{0}^{4} \left( 4x - x^2 \right) dx \] ### Шаг 3. Вычисление интеграла Рассчитаем: \[ S = \int_{0}^{4} 4x\, dx - \int_{0}^{4} x^2\, dx \] \[ S = \left[ 2x^2 \right]_0^{4} - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{4} \] Подставляем пределы: \[ S = 2 \times 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2 \times 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ S = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{32}{3} } \] Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = 4x \), равна \( \frac{32}{3} \) единиц площади.